辩析“形似质异”的八组函数问题

何志雄

摘要：函数是高中数学的核心概念，也是历年高考考查的重点和热点，其性质众多且复杂，时常让人感到难以把握，尤其是对于一些条件或结构相似的函数问题，若不认真审题，仔细对比，则往往会产生思维上的误区，甚至张冠李戴，出现方法上的偏差.

关键词：辨析；相似；函数问题

一、定义域与值域

定义域与值域犹如一对孪生兄弟，一脉相承，相辅相成.一方面，自变量在定义域中的变化导致因变量在值域中的变化；另一方面，定义域中的每一个值都必须被自变量取遍，值域中的每一个值都必须被因变量取遍.

例1（1）若函数f（x）=log2ax2+2x+1的定义域为R，求实数a的取值范圍；

（2）若函数f（x）=log2ax2+2x+1的值域为R，求实数a的取值范围.

解析（1）f（x）的定义域为Rax2+2x+1>0对任意x∈R恒成立.

当a=0时，不等式化为2x+1>0，显然不满足题意；

当a≠0时，有a>0，Δ=4-4a<0， 解得a>1.

综上可得，当a>1时，函数f（x）的定义域为R.

（2）令u=ax2+2x+1，则函数y=log2u的值域为Ru能取遍所有的正数，也就是0，+∞是函数u=ax2+2x+1值域的子集.

对于函数u=ax2+2x+1，当a=0时，函数u=2x+1的值域为R，满足题意；

当a≠0时，有a>0，Δ=4-4a≥0， 解得0

综上可得，当0≤a≤1时，函数f（x）的值域为R.

二、定义域与有意义

对于给定了定义域的函数问题，常可利用“不等式的解集即为函数的定义域”，把问题转化为解不等式来处理，也可利用函数与方程思想来解决，即利用“不等式解集的端点值恰好是这个不等式对应的方程的根”；若函数在区间上有意义，则可利用“函数的定义域应包含函数有意义时自变量的集合”，把问题转化为恒成立问题来解决.

例2（1）若函数f（x）=1+3x·a的定义域为-∞，1，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）=1+3x·a在-∞，1上有意义，求实数a的取值范围.

解析（1）1+3x·a≥03x·a≥-1.

当a≥0时，3x·a≥-1的解集为R，

故f（x）的定义域为R，不满足题意；

当a<0时，3x·a≥-1x≤log3-1a.

故f（x）的定义域为-∞，log3-1a.

所以log3-1a=1，解得a=-13.

（2）由题意可知，不等式1+3x·a≥0对任意x∈-∞，1恒成立a≥-13x对任意x∈-∞，1恒成立a≥-13xmax.

又-13x在-∞，1上的最大值为-13，所以a≥-13.

三、函数的值域与函数值的变化范围

若一个函数的值域为A，则是自变量在取定义域内的一切值时，所对应的函数值必须能且只能取遍A内的一切值；若一个函数的函数值的变化范围为A，则是自变量在取定义域内的一切值时，所对应的函数值都必须在A内，但不一定能取遍A内的一切值.

例3（1）已知函数f（x）=3x2-2m+3x+m+3，若f（x）的值域为0，+∞，求实数m的取值范围；

（2）已知函数f（x）=3x2-2m+3x+m+3，若f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围.

解析（1）因为f（x）min=-m2-3m3，

故-m2-3m3=0，解得m=-3或m=0.

即当m=-3或m=0时，f（x）的值域为0，+∞.

（2）f（x）≥0恒成立Δ=-2m+32-4×3m+3≤0.

解得-3≤m≤0，即当-3≤m≤0时，f（x）≥0恒成立.

四、自身轴对称与相互轴对称

对称反映了函数图象的和谐与美，函数中的轴对称主要体现在函数图象自身轴对称与两个函数图象之间的轴对称.一般地，若函数y=f（x）满足fa+mx=fb-mx（m≠0），则函数f（x）的图象关于直线x=a+mx+b-mx2=a+b2对称；函数y=fa+mx与y=fb-mx的图象关于直线a+mx=b-mx即x=b-a2m（m≠0）对称.

例4（1）若函数f（x）满足fx-1=f1-x，则f（x）的图象关于直线（）.

A.x=0对称 B.x=1对称

C.y=0对称 D.y=1对称

（2）设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=fx-1与y=f1-x的图象关于直线（）.

A.y=0对称 B.x=0对称

C.y=1对称 D.x=1对称

解析（1）对称轴为直线x=x-1+1-x2=0，故应选A.

另解令x-1=t，则由fx-1=f1-x可得ft=f-t，所以f（x）为偶函数，故应选A.

（2）对称轴为x-1=1-x，即x=1，故应选D.

五、中心对称与轴对称

函数的中心对称是有别于轴对称的又一种图形性态，解题时尤其容易出现把函数自身中心对称与自身轴对称混淆的情况，常有如下结论可供应用∶若函数y=f（x）对定义域内任意x都满足f2a-x+f（x）=2b（a，b为常数），则函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称；若函数y=f（x）对定义域内任意x都满足fa-x+fb+x=c（a，b，c为常数），则y=f（x）的图象关于点（a+b2，c2）对称.结论易证，此处略.

例5（1）若函数f（x）对一切实数x都有fx+8=f-2-x，当x≥3时，f（x）=x2-7x+4，求f（x）的解析式；

（2）若函数f（x）对一切实数x都有fx+8=-f-2-x，当x≥3时，f（x）=x2-7x+4，求f（x）的解析式.

解析（1）因为f（x）对一切实数x都有fx+8=f-2-x，

所以f（x）的图象关于直线x=3对称.

当x<3时，有-x+6>3，

此时函数f（x）的解析式为f（x）=f6-x=6-x2-76-x+4=x2-5x-2，

所以f（x）=x2-7x+4x≥3，x2-5x-2x<3.

（2）因为f（x）对一切实数x都有fx+8=-f-2-x，

所以函数f（x）的图象关于点3，0中心对称.

当x<3时，有-x+6>3.

函数f（x）的解析式为f（x）=-f6-x=-6-x2-76-x+4=-x2+5x+2.

故f（x）=x2-7x+4x≥3，-x2+5x+2x<3.

六、单调区间与区间上单调

若某函数的单调递增（单调递减）区间为A，同时该函数在区间B上单调递增（单调递减），则BA.

例6（1）已知函数f（x）=x3-ax+2，若函数f（x）的一个单调递增区间为1，+∞，求实数a的值；

（2）已知函数f（x）=x3-ax+2，若函数f（x）在区间1，+∞上单调递增，求实数a的值.

解析（1）f ′（x）=3x2-a，

因为函数f（x）的一个单调递增区间为1，+∞，

所以f ′（x）>0对于任意x∈1，+∞恒成立，且1是方程f ′（x）=0的一个根.

故3×12-a=0，解得a=3.

（2）f ′（x）=3x2-a.

因为函数f（x）在区间1，+∞上单调递增，

所以f ′（x）>0对于任意x∈1，+∞恒成立

a<3x2对于任意x∈1，+∞恒成立.

故a≤3.

七、主元与次元

求解某些多元函数问题或含参函数问题时，若根据已知条件，合理选定其中一个变量为主元，其余的变量均视作次元，则可较快转化甚至简化问题.

例7（1）已知函数f（x）=x2+mx+1，若对任意x∈0，2，f（x）>0恒成立，求实数m的取值范围；

（2）已知函数f（x）=x2+mx+1，若对任意m∈0，2，f（x）>0恒成立，求实数x的取值范围.

解析（1）视x为主元，m为参数，若按二次函数求最值的方法处理，则较复杂，现采用分类与整合的策略：

当x=0时，f（x）=1>0恒成立，此时m∈R；

当x∈0，2时，f（x）>0恒成立

m>-x+1x恒成立

m>-x+1xmax=-2.

综上可得，m>-2.

（2）视m为主元，x为参数，

设hm=xm+x2+1，

因为对任意m∈0，2，f（x）>0恒成立，

所以h0>0，h2>0， 即x2+1>0，2x+x2+1>0，

解得x≠-1.

八、对称与周期

对称与周期犹如函数众多性质中的两颗璀璨的明珠，二者合力促使函数图象呈现出更多的数学美.由于蕴涵这两个性质的条件在表述形式上极其相似，因此经常容易出现理解混淆，甚至得出错误结论的情况.

例8（1）已知函数y=f（x）（x∈R）满足f1+x=f1-x，且f-1=5，求f3；

（2）已知函数y=f（x）（x∈R）满足fx+1=fx-1，且f-1=5，求f3.

解析（1）由题意可知，函数f（x）关于直线x=1+x+1-x2=1对称，结合对称性可得f3=f-1=5.

（2）因为fx+1=fx-1，

所以fx+1+1=fx+1-1.

即有fx+2=f（x），故函数f（x）的周期为2.

又因f-1=5，

所以f3=f-1+4=f-1=5.

评注在解決函数周期性问题时，时常利用这样一个结论∶若函数y=f（x）（x∈R）满足fx+a=fb+x（a