一道省统测试题的另解、探源、编制

杨培绍

摘要：高中数学中f（x）=ex，f（x）=lnx这两个重要函数在编制高考题中高频率使用， 为了追寻命题者的命题心路历程，本文从题解呈现，深思另解，深思探源三个方面感受命题者的精思过程，找到源头，进而创新编制新题.

关键词：高考题；另解；探源；编制

问渠那得清如许，为有源头活水来. 2017 年云南省第一次统测数学理科试题21题第3问是怎样命出的，引起读者兴趣，爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，今探究如下：

一、题解呈现

已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）.

（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；

（2）判断函数f（x）的单调性；

（3）设g（x）=ln（ex+e3x3﹣1）﹣lnx，若x>0，f（g（x））

参考答案（1）（2）略

（3）设F（x）=ex﹣x﹣1，则F′（x）=ex﹣1.

因为x=0时，F′（x）=0；

x>0时，F′（x）>0.

所以F（x）在[0，+∞）递增.

所以x>0时，F（x）>F（0）.

化简得：ex﹣1>x.

所以x>0时，ex+e3x3﹣1>x.

设h（x）=xex﹣ex﹣e3x3+1，

则h′（x）=x（ex﹣ex）.

设H（x）=ex﹣ex，

则H′（x）=ex﹣e.

由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）>0，x<1时，H′（x）<0.

所以x>0时，H（x）的最小值是H（1）.

x>0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0.

所以h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增.

所以h（x）>h（0）=0.

化简得ex+e3x3﹣1

所以x>0时，x

所以x>0时，lnx

即0

即x>0时，0

当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增.

得f（g（x））

当a>1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，

所以0f（x），与已知x>0， f（g（x））

综上，a的范围是（﹣∞，1].

二、深思另解

因为ex≤ex，

所以ex2≤xex.

所以ex+ex2≤ex+xex.

设h（x）=ex+ex2，g（x）=ex+xex，

且h（0）=g（0）=0.

易知，h（x），g（x）都在0，+∞递增.

在0，x上求h（x），g（x）的定积分，其几何意义是曲边梯形的面积.由几何图形知，h（x）对应的曲边梯形的面积小于g（x）对应的曲边梯形的面积.

所以∫x0（ex+ex2）dx∫x0（ex+xex）dx.

所以（ex+ex33）x0xexx0 .

所以ex+ex33-1xex（x0）.

所以ln（ex+ex33-1）x+lnx.

所以ln（ex+ex33-1）-lnxx.

所以g（x）=ln（ex+ex33-1）-lnxx.

由（II）知a≤1时，f（x）在（0，+∞）递增，a1时f（x）在（0，lna）递减.

综上：a的取值范围是a≤1.

三、深思探源

函数内容中的两个不等式：ex≥1+x，lnx≤x-1及其变形式ex-1≥x；ex≥ex；x-1≥lnx；x≥lnx+1≥lnx；x≥ln（x+1）；1e1-x≤1x；1ex≤1ex等等，往往是函数命题的重要背景，本题f（x）的结构特征决定了其与上述不等式的必然联系.

背景1ex的泰勒展开式：

ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xnn！+…（n∈N，x≥0）.

a≤1时，ex1+x≥1+ax（x0）.

于是得ex+ex331+x.

所以ex+ex33-1x（x0）.

因为y=lnx在x0时递增，

所以ln（ex+ex33-1）lnx（x0）.

所以ln（ex+ex33-1）-lnx0（x0）.

即g（x）0.

高中数学中f（x）=ex，f（x）=lnx这两个重要函数在编制高考题中高频率使用，为了增加思辨性和深刻性，命题者把不等式ex+ex33-1x（x0）与f（x）=lnx进行复合，得ln（ex+ex33-1）-lnx0（x0），即g（x）0，这便是命题者构造的函数不等式f（g（x））f（x）中g（x）的由来.

背景2數学分析中定积分有性质定理：

如果f（x），g（x）在x∈a，b上可积，且f（x）≤g（x）∫baf（x）dx≤∫bag（x）dx.

背景3熟知不等式 ex≤ex.

背景4为了增加深刻性，两边同加ex，易得不等式0ex+ex2ex+xex.

背景5用背景2 0ex+ex2ex+xex

∫x0（ex+ex2）dx∫x0（ex+xex）dx

（ex+ex33）x0xexx0

ex+ex33-1xex（x0）

ln（ex+ex33-1）x+lnx

ln（ex+ex33-1）-lnxx

g（x）=ln（ex+ex33-1）-lnxx.

由（II）知a≤1时，f（x）在（0，+∞）递增，a1时f（x）在（0，lna）递减，命题人把问题进行包装，设g（x）=ln（ex+ex33-1）-lnx，若x0，f（g（x））f（x）中g（x）x的由来.至此，清晰地呈现了命题者的命题心路历程.有着深刻的高等数学背景，过程精思，问题经典，结论精深，解答精巧，值得精品.

四、创新编制

在背景2下，类似可编拟：

因为ex≥x+1，xex≥ex2，

所以ex+xex≥x+1+ex2.

类似深思另解推得ex≥ex23+x2+1.

可编制g（x）=x-ln（ex23+x2+1），若x>0，f（g（x））