高考“圆”之考查

代宗山

摘要：高考对于圆的考查，可谓是变化多端，巧具匠心，其实万变不离其宗，无外乎考查了点与圆，直线与圆，圆与圆的基本位置关系.本文举例剖析了圆的几个常见题型：角的存在问题，点的存在问题，点的恒成立问题.

关键词：相切；条件；位置关系；交点

题型一角的存在问题

解决策略：如果我们碰到的问题是在圆或直线上是否存在着点，使得与圆相关的一个角为多少度成立，那考虑方法与不等式的成立问题类似，即考虑这个角的最大值，而这个角的最大值往往就是直线与圆相切的时候.

例1设点M（x0，1），若在圆O∶x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，求x0的取值范围.

分析首先画出图像来，注意到角的两条边，一条是OM，一条是ON，如果把M看成定点，N看成动点，其实是否存在，只需要考虑∠OMN的最大值，即直线与圆相切的时候.

解设MP与圆O切于点P，连接OP.

因为在圆O∶x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，所以∠OMP≥45°.

所以sin∠OMP≥sin45°=22.

即OPOM≥22，得OM≤2.

所以x2°+1≤2，解得-1≤x°≤1.

例2已知圆M：（x-1）2+（y-1）2=4，直线l∶x+y-6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，求点A的横坐标的取值范围.

分析与例一不同之处在于圆上存在两点，其实还是考虑∠BAC的最大值，即直线与圆相切的时候.

解过A做直线AP与圆M切于P，连接MA，MP.

因为圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，

所以∠MAP≥30°.

所以sin∠MAP≥sin30°=12.

即MPMA≥12，得MA≤4.

设M（x，6-x），

所以 （x-1）2+（6-x-1）2≤16.

解得1≤x≤5.

练习在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-4x=0，若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，求实数k的取值范围.

题型二点的存在问题

常见问题一：直线上存在着点，满足什么条件，这个条件往往是一个圆，所以最后归结到直线与圆的位置关系.

常见问题二：圆上存在着点，满足什么条件，这个条件往往是一个圆，所以最后归结到圆与圆的位置关系.

例3在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线x-y+m=0上存在点P使得PA=12PB，求实数m的取值范围.

分析点P一方面在直线上，另一方面又满足PA=12PB，满足这个条件的点的轨迹又是什么呢？不难猜到，是一个圆.所以问题的本质就是直线与圆有交点.

解设P（x，y），因为PA=12PB，

所以4（x-1）2+4y2=（x-4）2+y2.

化简得x2+y2=4.

因为直线x-y+m=0上存在点P使得PA=12PB，所以直线x-y+m=0与圆x2+y2=4有交点.

所以m2≤2，得-22≤m≤22.

例4 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l∶y=2x-4.设圆的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

分析此题许多同学失败的地方在于解方程组，掉进了解方程组的漩涡.如果能把数和形结合起来，认识到问题的本质是两个圆的位置关系，那就不是问题.

解设C（a，2a-4），

则圆方程为（x-a）2+（y-2a+4）2=1.

设M（x0，y0），

由题意（x0-a）2+（y0-2a+4）2=1.

因为MA=2MO，

所以x20+（y0-3）2=4x20+4y20.

即x20+（y0+1）2=4.

因为若圆C上存在点M，使MA=2MO，

所以圆（x-a）2+（y-2a+4）2=1与圆x2+（y+1）2=4有交点.

即两圆相交或相切.

所以（2-1）2≤d2≤（2+1）2，

即1≤（a-0）2+（2a-4-（-1））2≤9.

所以0≤a≤125.

题型三点的恒成立问题之一

问题常给一个圆，另外给出的条件一般比较开放，叫人摸不着头脑，但经过我们仔细分析后，最后往往归结到圆与圆的位置关系.

例5已知线段AB的长为2，动点C满足CA·CB=λ（λ为常数），且点C总不在以点B为圆心，12为半径的圆内，求负数λ的最大值.

分析关键弄清楚满足CA·CB=λ（λ为常数）的动点C它的轨迹是什么？

解如图1，以线段AB所在直线为x轴， B为原点建立坐标系.

设C（x，y），因为CA·CB=λ，又CA=（-2-x，-y），CB=（-x，-y）.

所以x（x+2）+y2=λ.

即（x+1）2+y2=1+λ.

记为圆M，显然1+λ>0.

因为点C总不在以点B为圆心，12为半径的圆内，所以圆M：（x+1）2+y2=1+λ与圆B：（x+1）2+y2=1+λ无交点.

所以1≥12+1+λ.

解得λ≤-34，符合1+λ>0.

所以负数λ的最大值为-34.

题型四点的恒成立问题之二

问题一般比较隐蔽，容易与题型三相混，误以为是圆与圆的位置关系，其实更隐蔽的是考虑和圆相关的最值问题，比如常见的最值问题：圆上一点和圆外一点的距离，圆上一点和圆外直线的距离等等.

例6在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-1）2+（y-1）2=9，直線l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，求实数k的取值范围.

分析动中有静，在变化中善于抓住一点进行突破，不妨取k=1考虑， 不难发现弦AB上和圆距离最远的点是弦AB的中点，中点离圆上的点的最小距离为 r-d，只要这个距离大于等于2，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点.

解圆心C到直线AB的距离 d=k+21+k2.

因为弦AB上和圆距离最远的点是弦AB的中点，

又弦AB的中点离圆上的点的最小距离为 r-d，

所以 以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只需要 r-d≥2.

即3- k+21+k2 ≥2，解得k≥-34.

以上给出了圆常见的四种题型，已及对应的模型解法，其实我们在圆的变化运动中，去感受问题的成立和不成立，感受动中有静，感受极限思想的指引，感受复杂与简单的交替，是我们最大的收获.

参考文献：

[1] 尹杰杰.圆的向量方程巧解平面向量模长最值问题[J].中学数学研究，2017（06）：45-46.

[2] 宋文瑾； 顾旭东.“圆”来如此——记与抛物线有关的七个圆[J].福建中学数学，2016（05）61-62.endprint