何以避重就轻

曲婷

课本题1：已知点P（x，y）在直线x+y4=0上，O是坐标原点，求OP的最小值.

思路1 利用坐标建立目标函数，从而转化为函数的方法解决有关问题，这是解析几何中很常见的方法，但是因为坐标表示的需要，目标函数的建立本身存在两个变量，所以消元是必不可少的过程.其运算量大小姑且不谈，有时遇到一些复杂的函数，不便于消元，以致不便于通过函数的方法解决问题，这将使得利用代数方法直接计算的思路难以奏效.

思路2 从题目中挖掘其几何意义，再利用代数运算的方法解题，便可大大降低运算量，也可以避免思路1难以奏效的可能.這是数形结合的数学思想方法，其中，几何特征的发掘是该方法的一个难点.

课本题2：已知M（ 1，3），N（6，2），点P在x轴上，求使PM+PN最小时点P的坐标.

根据上面的分析，本题同样可通过两种思路来处理：

得到关于x的目标函数，接下来怎么处理函数最值的问题呢？两边同时平方，还是有根号，再次两边平方，好像更加繁琐了；即使利用以后将要学习的导数法判断函数的单调性，还是相当繁琐的.上述思路，可以说是理论上可行，实际操作有困难.

思路2 如图1所示，根据题意，问题就是求两个线段之和的最小值，自然会考虑到两点之间线段最短，如何把折线长转化为线段长？如图2所示，可以通过作点M的对称点M'，从而可以得到PM +PN=PM'+PN≥M'N，此时线段M'N与x轴的交点即为所求.并且求P点坐标的方法也有两个思路，一是求直线M'N的直线方程，再令y=0；二是利用M'P与PN的斜率相等建立方程.这实际上也是对代数方法和几何方法的一种选择.具体过程略，答案为（16/5，0）.

显然，这个题目利用思路1解答很困难，利用思路2则可以很快地解决问题.可见，充分利用几何性质解解析几何问题是很有必要的，其中数形结合、函数与方程等数学思想，在其中起到很重要的作用.

3.学以致用

如何有效地通过几何特征和几何性质进行转化，从而避免繁琐的代数计算，达到高效解题的目的呢？下面，我们再通过几个例子，进一步体会几何性质在解析几何中的重要应用.

例1 原点0到动直线Z：（m+1）x+（m+2）y+2=O的最大距离为_____ .

例2 设M是圆（x-5）²+（y-3）²=9上的点，N是直线3x+4y-2=0上的点，则MN的最小值是_____.

解析 从几何特征上看，直线到网上的点的距离问题，最终可以化归为点到直线的距离问题，因此MN的最小值就可以通过圆心到直线的距离，再减去半径来进行求解.答案为2.

总之，解析几何中与直线和圆有关的最值或者范围问题的求解，大多可以通过其几何性质建立函数或者不等式关系，从而减少化简和运算的T作量.如果能够很好地运用数形结合的数学思想，探索发现其具有代表性的几何性质，再举一反三，融会贯通，类似问题便可迎刃而解，长此以往，就可以达到“避重就轻”、高效解题的目的.endprint