错中悟道：善用概型定义 厘清题目本质

吴玲

很多同学觉得概率问题易做不易对，究其主要原因，还是概念模糊致错，所以我将同学们在概率学习中的典型易错题型进行了总结归纳，以期对大家今后的学习有所帮助.

一、古典概型

古典概型概率题目看似简单，但因概念理解不透、审题不清，常会造成错解.

1.现有分别标有1，2，3，4的四张扑克牌，甲、乙两人从中各任取一张，求取出的扑克牌上的两数和为奇数的概率.

错解1 记“取出的扑克牌上的两数和为奇数”为事件A，等可能基本事件（即两数之和）有：2，3，4，5，6，7，8，共7个.

事件A包含的基本事件有：3，5，7，共3个，所以P（A）=3/7，

错解2 记“取出的扑克牌上的两数和为奇数”为事件A，等可能基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6个.

事件A包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（2，3），（3，4），共4个，所以P（A）=4/6=2/3.

错解3 记“取出的扑克牌上的两数和为奇数”为事件A，等可能基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4.3），（4，4），共16个.

事件A包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8个，所以P（A）=8/16=1/2

错因分析 三种错解都是因为审题不清，导致基本事件写错，本题的试验是“甲、乙两个人取，看扑克牌上的点数”，它的结果才是基本事件，而不是“两数的和”的结果作为基本事件，故解法1错；因为是“甲、乙两个人取”，所以是有先后顺序的，故解法2错；又两人不会同时取一张扑克牌，所以数字不可能重复，故解法3错.

正解 记“取出的扑克牌上的两数和为奇数”为事件A，等可能基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12个.

事件A包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8個，所以P（A）=8/12=2/3.

反思 解答古典概型问题的关键是正确寻找试验的基本事件，确定好概率求解公式中的分子分母各白包含基本事件的数目.

二、几何概型几何概型与古典概型有相同之处义有不同之处，初学时往往不能识别几何概型的特点，容易犯一些似是而非的错误.

2.在等腰Rt△ABC中，∠C=90。，在∠CAB内作射线交线段BC于点M，求∠CAM<30°的概率，

错因分析 题中的表述“在∠CAB内作射线交线段BC于点M”说明本题的测度应为角度，而上述解法将测度错误地定为线段长度.若将表述换成“在直角边BC上任取一点M”，则上述解法正确.在解决几何概型问题时，要认真审题，分清问题考察的测度，从而正确解决问题.

正解 本题的测度应定为角度，过点A作射线与线段CB相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB内，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM/∠CAB=30°/45°=2/3

3.在区间[1，1]上随机取一个数x，cosπx/2等的值介于0到1/2之间的概率为

.

错解 因为x∈[1，1]，所以cosπx/2∈/-π/2，π/2/，cosπx/2∈[0，1]，区间长度为1，而区间[0，1/2]的区间长度为1/2，所以所求概率为1/2.

错因分析 根据定义，题中构成事件区域的元素是x的取值范围，而不是cosπx/2的取疽范围，所以上述解法错误.

正解 因为x∈[1，1]，所以πx/2∈[-π/2，π/2]，义因为cosπx/2等∈[o，1/2]，所以πx/2∈[-π/2，-π/3lU[π/3，π/2]，所以x∈[-1，-2/3]U[2/3，1]，区间长度为2/3，而x∈[-1，1]的区间长度为2，所以所求概率为1/3.

反思 导致这两个题目错解的共同原因都是因为通过变换改变了原来区域的大小，而且在改变过程中前后区域大小的比例不同.变换要注意等价性，这种等价性在几何概型中就是要保证区域是等比例变换的.配套练习

1.抛掷两枚骰子，则朝上的点数之和为8的概率为____.

2.在半径为1的圆0内任取一点M，过M作一条与OM垂直的弦，则此弦的长超过该圆内接等边三角形的边长的概率是____.

参考答案

1.5/36；2.1/4endprint