一次美丽的邂逅

王庆

【摘要】 二次曲线的交点问题是许多学生和教师都心存疑惑的地方，本文通过课堂教学实录给大家答疑解惑.

【关键词】 二次曲线;交点;判别式;韦达定理

作为一位教师，我们都希望自己的课堂教学有行云流水的教学过程，巧妙的教学设计，学生积极主动的参与，良好的检测效果.但是，真正的课堂教学往往会有一些意想不到的情况出现，而这些意料之外的情况恰恰真实地反映了学生的思维状态和学生在积极主动参与时出现的困惑.在教学中我们应该珍惜这样的机会，如果能够利用好这些教学中的“意外”，就能在课堂上生成学生的主体意识、探究精神，同时对提高学生的思维品质具有积极意义.

一、课堂剪影

在上圆锥曲线习题课时，笔者给出下面问题：（2015·福州质检）已知抛物线y2=2px（p>0）在第一象限内与圆x2+y2-4x+1=0交于不同的两点A，B.

（1）求p的取值范围;

（2）如果在x轴上只有一个点M，使MA⊥MB，求p的值及M的坐标.

教师：请同学们先思考第一小题，然后请学生回答.

学生1：交点问题都可以通过方程组处理.本题只需要满足方程组 y2=2px，x2+y2-4x+1=0  有解即可.整理得x2+2（p-2）x+1=0.由Δ=[2（p-2）]2-4>0得p<1或p>3.因为p>0，所有0<p<1或p>3.

学生2：方程组有两解能说明两曲线在第一象限有两个不同交点吗？

学生3：结果没问题，但是思维过程不严密.应该加以说明：由于抛物线和圆都关于x轴对称，根据对称性，如果它们在第一象限有两个交点，在第四象限也有两个交点，但横坐标只有两个不同取值.

教师：这样思考思维缜密多了，大家再思考：问题考虑得全面吗？

学生4： 因为交点在第一象限，所以方程的根应该是两个不相等的正根，所以还要加上条件： x1+x2=-2（p-2）>0，x1x2=1>0，   即 p<1或p>3，p<2，  ∴p的取值范围是（0，1）.

学生都认为有道理，笔者也对问题加以强调.正准备进入第二小题的评讲时，一名学生说出他的疑惑.

学生5：这里为什么需要考虑根的情况？我们以前学习直线和圆锥曲线都不需要考虑根的情况.如，直线l：y=2x+1与抛物线y2=2px（p>0）在第一象限有两个交点，求p的取值范围.只需要把l：y=2x+1代入y2=2px得：4x2+（4-2p）x+1=0，由Δ=（4-2p）2-4×4>0，即p<0或p>4.因为p>0，所以解得p>4.

学生4的发言引起大家的共鸣，许多同学都有同感.我意识到这堂课原定的教学计划没有办法完成了，索性让学生把大家都困惑的这个问题弄清楚.同学们思考一下原因？班上立即展开热烈的讨论.过了一会儿，有学生回答.

学生6：我认为整理后的问题就是一元二次方程根的分布问题.因此，需要考虑根的符号，所以要用上韦达定理.前面同学所举两例，其实都满足 x1+x2>0，x1x2>0，  只是过程省略没写.

学生7：同学6讲得非常有道理，但是他仍然没有说明为什么同学5所举例题韦达定理可以不写，而前面的例题必须要写？

同学们由此陷入思考中.

教师：观察两道题的形式上有没有不一样的地方？

学生8：这两例中的情况不一样，例题中的两个方程都是二次方程，而同学4所举例题一个是一次方程另一个是二次方程.我觉得原因应该在这里，具体我还没想清楚.

学生9：我认为黑板上例题中联立消去的是y2，而同学4的两例中消去的都是y.两次消去的结构形式不一样，可能这对结果有影响.

学生10：受同学9的启发，每个方程都有两个变量x，y，不仅x对y有影响，同时y对x也有制约.如椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）中的两个变量x，y相互之间有制约，就像函数中x与y之间相互影响一样.教材通过 y2 b2 =1- x2 a2 ≥0解得x范围：-a≤x≤a.因此，这里y2=2px（p>0）中的y2决定了x≥0.而联立消y2后的方程x2+2（p-2）x+1=0没有了y2对x的制约，因此，会出现不合题意的根.而同学4举例中的直线l：y=2x+1中y对x没有制约，所以x∈ R .消元时x，y间制约没有抵消掉，所以不受影响.

教师：大家都说得很好，处理多变量问题时，注意多元变量关系式对变量间的取值影响.下面哪名同学来总结一下？

学生11：直线和曲线交点问题由于没有消去二次项，所以对交点没有影响，可以只考虑判别式即可.如果是两个曲线交点问题，我们不仅需要考虑判别式，还要从根的分布角度思考.

学生为以上几名同学纷纷鼓掌，大家心头的疑惑都得到解决.这时又有一名同学提出疑问.

学生12：Δ>0说明方程有实根，当p>3时， x1+x2=-2（p-2）<0，x1x2=1>0  说明方程有负根，负根在这里没有意义，那么这里的负根意义是什么？

刚刚轻松的气氛瞬间被冻住，同学们又都认真思考起来.

教师：目前我们中学阶段学习的都是坐标取实数的平面，如果坐标取复数，得到的坐标取值为两个复平面的乘积，写成（x，y）∈ C × C ，构成一个四维空间.抛物线和圆的方程会变成实部的方程和虚部的方程两部分，它的零点集合在四维曲面里各是一张二维曲面，这两个曲面会交于四个点，其中两个坐标是实数，还有两个坐标有虚数，就是增根.

二、教学反思

如果按教师能否顺利地完成既定的教学任務，那么这节课是失败的.但如果评价的标准是能不能够根据学生的认知水平，帮助他们理解知识关系，构建和完善知识结构框架，培养学生分析、比较、计算等能力，那么这节课就是成功的.本节课没有为了遵循教学计划和安排忽视学生的问题，而是引导学生逐步深入思考，直至问题解决.本节课通过认真思考和热烈讨论，学生的思维活动过程分为：1.学生从曲线交点问题只考虑判别式到需要加韦达定理，从具体例题入手，通过归纳和对比研究两类题型的解题差异.2.从等式中变量间关系出发解释交点问题需要考虑韦达定理.用类比的方法，从教材解析几何中椭圆方程得到坐标之间的相互约束出发，理解圆和抛物线具有同样的规律.3.通过两类不同题的解法，归纳出二次曲线交点问题的一般性解法和规范答题过程.4.从本源上理解产生增根的原因.学生通过思考、提问不仅提高了对知识的理解掌握，同时也提高了自己分析问题和解决问题的能力.

本节课的教学都是通过学生的活动来实现，彰显了学生在课堂教学中的主体地位，也体现了教师在课堂教学中的主导作用.课堂学习氛围浓厚，学生乐于积极思考，敢于大胆发言，分享自己的感悟和体会.学生的主动性得以充分发挥.在这堂课中教师是教学的组织者和引导者，适时加以点拨，掌控整个课堂，使得学生的思考层层深入，直至问题本源.

这场美丽的邂逅是由学生5的问题而引发，没有质疑，学生就不会深入思考.朱熹曾说：“大疑则大悟，小疑则小悟，不疑则不悟.”教学过程中“问题”是让师生双方相互交流、相互沟通、相互理解、相互启发、相互补充，提高教学质量的实质.在教学中我们需要重视学生的疑问，呵护学生的质疑之心，这才是尊重学生，尊重课堂，尊重数学.

【参考文献】

[1]蔡欣.一次没有预约的“美丽”[J].中学数学教学参考，2017（z1）：20-22.

[2]张向东.求两个二次曲线交点个数的解决策略[J].沧州师范专科学校学报，2010（3）：127-128.