拉格朗日乘数法的证明与几何意义

苏长鑫

【摘要】 拉格朗日乘数法是高数的重要知识，各教材没有给出证明，而目前看到的各种证明比较复杂难懂.本文利用方程公共解及曲面族的性质，给出了简单易懂的证明，并对其几何意义做出了解析.

【关键词】 拉格朗日乘数法;公共解;简易证明;几何意义

引理  曲面（线）π： F1（x1，x2，…，xn）=0，F2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0  在曲面族k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）…+kmFm（x1，x2，…，xn）=0上.

证明  对任意满足方程组π的（x1，x2，…，xn），有Fi（x1，x2，…，xn）=0（i=1，2，…，m），

代入（1）得k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）+…+kmFm（x1，x2，…，xn）=k10+k20…+km0=0.

得证.

定理  （拉格朗日乘数法）在p0（x10x20…xn0）的某个邻域有连续偏导的曲面（线）y=f（x1，x2，…，xn），

在p处取得满足条件

F1（x1，x2，…，xn）=0，F2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0  （Fi在p的某个邻域有连续偏导，m<n，且方程的秩为m）

下极值，则有

（1） F xi （p0）=0（i=1，2，…，n），

其中F=f（x1，x2，…，xn）+k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）+…+kmFm（x1，x2，…，xn），

其极值点满足 F xi （p0）=0（i=1，2，…，n），

即 f xi （p0）+ki F1 xi （p0）+…+km Fm xi （p0）=0（i=1，2，…，m）.

（2）F的这个极值点p0为f的条件极值点.

证明  设（x1，x2…，xn，y）为方程组

F1（x1，x2，…，xn）=0，F2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0，y-f（x1，x2，…，xn）=0  的解.

由引理，可知（x1，x2，…，xn，y）满足方程

（f（x1，x2，…，xn）-y）+k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）+…+kmFm（x1，x2，…，xn）=0，

即满足y=f（x1，x2，…，xn）+k1F2（x1，x2，…，xn）+k2F2（x1，x2，…，xn）+…+kmFm（x1，x2，…，xn）=F（x1，x2，…，xn）.

设这个函数F在

F1（x1，x2，…，xn）=0，F2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0  的空间解集（线或面）为D：  p Fi （p）=0 （i=1，2，…，m）中取得极值.

不妨设在p0（x10x20…xn0）处取得极大值F（p0），那么ΔF=F（p）-F（p0）≤0.

当p→p0时，xi的增量Δxi→0，

当Δxi→0-时，有 lim Δxi→0  ΔF Δxi ≥0，

当Δxi→0+时，有 lim Δxi→0  ΔF Δxi ≤0，

故有当Δxi→0时， lim Δxi→0  ΔF Δxi =0.

即 f xi +∑ m j=1 kj Fj xi =0（j=1，2，…，m;i=1，2，…，n）.

现在证明此F的极值F0=f（x10x20…xn0）为所求.

因为在p0取得极小（大）值，

所以，ΔF=F0-F≤0（≥0），

y=f（x1，x2，…，xn）

定义在 F1（x1，x2，…，xn）=0，F2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0  的解集D：  p Fi （p）=0  （i=1，2，…，m，m<n）.

在p0的某个邻域内，有Fi（x1，x2，…，xn）=0，

ΔF=f（x10，x20，…，xn0）+k1F2（x10，x20，…，xn0）+k2F2（x10，x20，…，xn0）+…+kmFm（x10，x20，…，xn0）-f（x1，x2，…，xn）-k1F2（x1，x2，…，xn）-k2F2（x1，x2，…，xn）-…-kmFm（x1，x2，…，xn）=f（x1，x2，…，xn）-f（x10，x20，…，xn0）=Δy.

由ΔF≤0（≥0）得Δy≤0（≥0），

即F（p0）=f（p0）为y=f（x1，x2，…，xn）

定义在 F1（x1，x2，…，xn）=0，F2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0  的解空间D：  p Fi （p）=0   （i=1，2，…，m，m<n）的极大（小）值.

证毕.

拉格朗日乘数法的几何解释：y=f（x1，x2，…，xn）为定义在n维空间上的函数，其图像为n+1维度上的曲面.对y=f（x1，x2，…，xn），当y=c时（c在y值域内），c=f（x1，x2，…，xn）是平行于n维度定义空间的曲线（等高线）.曲面由不同高度的等高线组成.

因此，y=f（x1，x2，…，xn）可视为在n+1维空间上由一族不同等高线组成的图形.

F1（x1，x2，…，xn）=0，F2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0

视为在平行定义空间（n维空间）的一条曲线G=0，在n+1维度空间是一个母线平行第n+1维y轴的柱面，它由一组平行定义空间的等高线 G=0，y=c  组成.假设G=0与y=f（x1，x2，…，xn）不相交.将G=0上下平移，当柱面与曲面y相交时，交线即是定义在

F1（x1，x2，…，xn）=0，F2（x1，x2，…，xn）=0，…Fm（x1，x2，…，xn）=0

上的函数.交线上的点既在y的某条等高线c=f（x1，x2，…，xn）上，又在柱面上.得到y=G+y0与某条等高线相切，则有共同的切线，因此有相同的梯度：

grad（y）=kgrad（G+y0），即grad（f）=kgrad（G）.

此时切点在n维定义空间的投影满足G=0.切点的函数值为最值，如图所示.

【参考文献】

[1]同濟大学应用数学系.高等数学：第4版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]吕林根，许子道.解析几何：第4版[M].北京：高等教育出版社，2006.