离散形式Minkowski不等式的几种证明
2018-03-04陈晓莉吴妍翎
陈晓莉 吴妍翎
【摘要】 Minkowski不等式是分析中几个重要的不等式之一,它的应用非常广泛.我们整理了Minkowski不等式证明的四种方法,包括利用Hlder不等式、利用Lagrange乘子、利用凸函数的性质以及利用单调函数的性质来证明.
【关键词】 Minkowski不等式;Hlder不等式;凸函数
【基金项目】 国家自然科学基金(11461033);江西省教改课题(JXJG-14-2-9).
一、引 言
通常,分析中几个基本不等式是指Hlder不等式(含Cauchy-Schwarz不等式)、Minkowski不等式和Young不等式等.著名数学家Hardy在其著作[1]《不等式》(Inequality)中称该不等式“极为重要”和“到处都要用到”.一开始,Minkowski不等式是以离散(数列)的形式出现,后来Riesz对其进行推广,得到了积分形式的Minkowski不等式,并用其建立Lp空间理论.我们这里主要介绍离散形式的Minkowski,并整理了多种证明.
定理 [2] 设a={a1,a2,…,an},b={b1,b2,…,bn},其中ai≥0,bi≥0.则当1≤p<∞时,有
∑ n i=1 (ai+bi)p 1 p ≤ ∑ n i=1 api 1 p + ∑ n i=1 bpi 1 p , (1)
且等号成立的充要条件是ai,bi成比例,即存在不全为零的非负实数λ1,λ2,使得对任意ai,bi(i=1,2,…,n)有λ1ai=λ2bi.
二、定理的证明
当p=1时,结论显然成立.因此,只需证明1<p<∞的情形.由于
∑ n i=1 (ai+bi)p=∑ n i=1 (ai+bi)(ai+bi) p q =∑ n i=1 ai(ai+bi) p q +∑ n i=1 bi(ai+bi) p q . (2)
因此,要證明Minkowski不等式只需证明
∑ n i=1 ai(ai+bi) p q ≤ ∑ n i=1 api 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q (3)
和
∑ n i=1 bi(ai+bi) p q ≤ ∑ n i=1 bpi 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q (4)
同时成立.结合(2)—(4),可得
∑ n i=1 (ai+bi)p≤ ∑ n i=1 api 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q + ∑ n i=1 bpi 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q
= ∑ n i=1 api 1 p + ∑ n i=1 bpi 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q .
整理即得不等式(1).
当存在不全为零的非负实数λ1,λ2,使得对于任意λ1ai=λ2bi,ai,bi(i=1,2,…,n),则等号显然成立.
不等式(3)和(4)的证明类似,因此只需证明(3).下面我们整理出四种不同的证明方法.
(一)利用Hlder不等式来证明
由文献[3]可知,当1<p,q<∞, 1 p + 1 q =1且Xi,Yi≥0,i=1,…,n时,有下面的Hlder不等式:
∑ n i=1 XiYi≤ ∑ n i=1 Xpi 1 p ∑ n i=1 Yqi 1 q .
等号当且仅当存在不全为零的非负实数λ1,λ2使得对于任意Xi,Yi(i=1,2,…,n)有λ1ai=λ2bi时成立.因此,利用Hlder不等式可以得到不等式(3).
(二)运用拉格朗日乘子法来证明
若将不等式(3)的证明问题转化为条件极值问题,则可以运用拉格朗日乘子法来证明Minkowski不等式,参见文献[4].要证明不等式(3),即证
∑ n i=1 ai(ai+bi) p q ∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q ≤ ∑ n i=1 api 1 p . (5)
不妨令xi= (ai+bi) p q ∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q ,则不等式转化为
∑ n i=1 aixi≤ ∑ n i=1 api 1 p . (6)
注意到∑ n i=1 xqi= ∑ n i=1 (ai+bi)p ∑ n i=1 (ai+bi)p =1.
因此,若把 ∑ n i=1 api 1 p 看成函数f(x1,x2,…,xn)=∑ n i=1 aixi在限制条件∑ n i=1 xqi=1下的最大值,则不等式(6)成立.
令L(x1,x2,…,xn,λ)=∑ n i=1 aixi+λ 1-∑ n i=1 xqi .假设 L xi = L λ =0,可得方程组
L xi =ai-qλixq-1i=0, L λ =1-∑ n i=1 xqi=0. (i=1,2,…,n)
解上述方程组可得
xi= ai λq 1 q-1 . (7)
利用∑ n i=1 xqi=1和 1 p + 1 q =1可得
∑ n i=1 ai λq q q-1 =∑ n i=1 ai λq p=1.
即λq= ∑ n i=1 api 1 p . (8)
将式(8)代入式(7)可得
xi= a 1 q-1 i ∑ n i=1 api 1 q (i=1,2,…,n).
这是拉格朗日函数L(x1,x2,…,xn,λ)的稳定点,且方程的解唯一,由实际问题可知最大值在唯一稳定点取得.从而有
fmax(x1,x2,…,xn)= ∑ n i=1 aia 1 q-1 i ∑ n i=1 api 1 q = ∑ n i=1 api ∑ n i=1 api 1 q
= ∑ n i=1 api 1 p ,
即∑ n i=1 aixi≤ ∑ n i=1 api 1 p .
故不等式(3)成立.
(三)利用凸函数的性质来证明
作辅助函数f(x)=-x 1 q (x>0).
则
f″(x)=- 1 q 1 q -1 x 1 q -2>0(x>0),
因此,f(x)在(0,+∞)上是凸函数.
令xi= (ai+bi)p api ,λi= api ∑ n i=1 api ,i=1,2,…,n,其中 1 p + 1 q =1.则∑ n i=1 λi=1.由Jensen不等式,见文献[5](P151例3),可得
-(λ1x1+λ2x2+…+λnxn) 1 q ≤λ1(-x 1 q 1)+λ2(-x 1 q 2)+…+λn(-x 1 q n).
即
(λ1x1+λ2x2+…+λnxn) 1 q ≥λ1x 1 q 1+λ2x 1 q 2+…+λnx 1 q n. (9)
结合xi,bi的定义和不等式(9)可得
∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q ∑ n i=1 api 1 q ≥ ∑ n i=1 ai(ai+bi) p q ∑ n i=1 api ,
整理得
∑ n i=1 ai(ai+bi) p q ≤ ∑ n i=1 api 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1 q ,
即不等式(3).
(四)利用函数的单调性来证明
1986年,王志雄在文献[6]中构造一个函数,利用该函数的单调性来证明Minkowski不等式.下面简单介绍此证明方法.
作辅助函数
f(t)= ∑ n i=1 xi(yi+t)α 1 α ∑ n i=1 xi(yi+t)β 1 β (xi>0,yi>0,β>α),
则f(t)是(0,+∞)上单调递增函数,此外当且仅当y1=y2=…=yn时,f(t)为常值函数.因此有
∑ n i=1 xiyαi 1 α ∑ n i=1 xiyβi 1 β =f(0)≤lim t→∞ f(t)
=lim t→∞ ∑ n i=1 xi yi t +1 α 1 α ∑ n i=1 xi yi t +1 β 1 β = ∑ n i=1 xi 1 α - 1 β .
化简可得
∑ n i=1 xiyαi 1 α ≤ ∑ n i=1 xi 1 α - 1 β ∑ n i=1 xiyβi 1 β .
令α=1,β=p>1,xi=(ai+bi)p,
yi= ai ai+bi (i=1,2,…,n),则
∑ n i=1 (ai+bi)p-1ai≤ ∑ n i=1 api 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1- 1 p . (10)
等号成立当且仅当
a1 a1+b1 = a2 a2+b2 =…= an an+bn .
这等价于存在不全为零的非负实数λ1,λ2使得对于任意的ai,bi(i=1,2,…,n)有λ1ai=λ2bi.
同理,令α=1,β=p>1,xi=(ai+bi)p,
yi= bi ai+bi (i=1,2,…,n),可得
∑ n i=1 (ai+bi)p-1bi≤ ∑ n i=1 bpi 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1- 1 p . (11)
将(10)和(11)两式相加,得
∑ n i=1 (ai+bi)p
≤ ∑ n i=1 api 1 p + ∑ n i=1 bpi 1 p ∑ n i=1 (ai+bi)p 1- 1 p .
即
∑ n i=1 (ai+bi)p 1 p ≤ ∑ n i=1 api 1 p + ∑ n i=1 bpi 1 p .
【参考文献】
[1]G Hardy,J Littlewood,G Pólya.不等式:第2版[M].越民义,译.北京:人民邮电出版社,2008.
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法:第2版[M].北京:高等教育出版社,2010.
[3]王声望,郑维行.实变函数与泛函分析概要:第4版[M].北京:高等教育出版社,2010.
[4]高英敏.Langrange乘数法与Minkowski不等式[J].青海大学学报(自然科学版),2003(2):57-58.
[5]华东师范大學数学系.数学分析(上册):第3版[M].北京:高等教育出版社,2006.
[6]王志雄.一个函数的单调性及若干经典不等式的统一证明[J].数学通报,1986(3):36-37.