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不定积分分部积分法研究

2018-03-04邓琴

数学学习与研究 2018年23期
关键词:不定积分函数

邓琴

【摘要】 在不定积分的计算方法中,分部积分法是最重要的方法之一,也是最常见的方法之一.本文主要介绍不定积分分部积分法的具体方法、技巧及其应用,提高学生对不定积分分部积分法的学习能力.

【关键词】 不定积分;分部积分法;函数

一、分部积分法的介绍及技巧

分部积分法是不定积分的计算方法中最重要的方法之一,也是最常见的方法之一.设函数u=u(x)及v=v(x)具 有连续导数,则乘积的求导法则为(u(x)v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x),移项得u(x)v′(x)=(u(x)v(x))′-u′(x)v(x), 两边积分就得到下面这个分部积分公式:

∫u(x)dv(x)=u(x)v(x)-∫v(x)du(x).

在进行分部积分时,把被积表达式中的哪一部分取作u,dv是任意的,但是如果u和dv的选取不恰当,往往会使问题变得更复杂.选择的原则是:(1)v容易求得;(2)∫v(x)du(x)比∫u(x)dv(x)容易求.其一般规律符合LIATE选择法:让L代表对数函数,I代表反三角函数,A代表代数函数,T代表三角函数,E代表指数函数,被积函数如遇到其中任何两种函数的乘积,选先出现在LIATE中的函数为u,剩下的为v′.

二、应用举例

例1   求∫xcosxdx.

解  令u=x,dv=cosxdx,則du=dx,v=sinx.所以,原式=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C.

例2   求∫xexdx.

解  原式=∫xdex=xex-∫exdx=xex-ex+C.

例3   求∫(lnx)2dx.

解  原式=x(lnx)2-2∫lnxdx=(xlnx)2-2xlnx+2∫dx=(xlnx)2-2xlnx+2x+C.

例4   求∫excosxdx.

解  原式=∫cosxdex=excosx+∫sinxdex=excosx+exsinx-∫excosxdx,移项可得

∫excosxdx= 1 2 (excosx+exsinx)+C.

例5   求∫ 1+sinx 1+cosx exdx.

解  原式=∫ 1+2sin x 2 cos x 2  2 cos x 2  2 exdx

=∫ 1 2 cos x 2  2 exdx+ ∫extan x 2 dx

=∫exdtan x 2 +∫extan x 2 dx

=extan x 2 -∫tan x 2 exdx+∫extan x 2 dx

=extan x 2 +C.

例6   求∫ xex (x+1)2 dx.

解  原式=∫ x+1-1 (x+1)2 exdx

=∫ 1 x+1 exdx-∫ 1 (x+1)2 exdx

=∫ 1 x+1 exdx+∫exd 1 1+x

=∫ 1 x+1 exdx+ 1 x+1 ex-∫ 1 x+1 exdx

= 1 x+1 ex+C.

三、小 结

当不定积分中被积函数是两种不同类型函数乘积时,可以考虑用分部积分法来求.大部分情况下的u和dv的选择可以按照上述方法来选取,但是也有例外,比如,例5和例6,做题时一定要灵活运用.有时候还要和凑微分法和变量代换法结合在一起使用.

【参考文献】

[1]李伟.高等数学习题课教程[M].北京:天津大学出版社,2004.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]刘玉莲.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

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