质朴扬新 开放统一 立意能力——对一道中考压轴题的赏析

☉安徽安庆市宜秀区五横初级中学 戴向阳

（2017·安徽第23题）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点.

（1）如图1，点G为线段CM上一点，且∠AGB＝90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F.

①求证：BE=CF；

②求证：BE2=BC·CE.

（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值.

图1

图2

二、特色解读

本题源于教材，低起点，高输出；解法多样，争奇斗艳；问题梯度分明，由易到难，思维水平逐级提高，使不同能力水平的学生到达问题的不同深度，体现了新课标关于义务教育阶段的培养目标的基本理念：“要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展.”

1.立题质朴，扬于创新，试题设计凸显了习题改编之道.

图3

本题取材于沪科版《义务教育教科书·数学》八年级下册第104页第9题：“如图3，在正方形ABCD中，点E、F是边BC、CD上的点，且BE=CF.那么，线段AE与BF的夹角有多大？为什么？”命题人别出心裁，巧妙地在此题中融合了新元素——“黄金分割”（沪科版《义务教育教科书·数学》九年级上册第68页例3），有效地将典型习题、教材例题同教材阅读与欣赏整合起来，借鸡生蛋，不愧是命题改编的典范之作.

本考题从逆命题角度对原题做了改造，得到第（1）①问.于考生而言，素材是熟悉的、亲切的，难点低，较之图3，图1只不过多了干扰“直观”的线条——CM.较之新定义问题，它没有因陌生符号或概念带来的压抑感，也没有因“定义”的新颖，给人兴奋与短暂的冲动.试题入口平淡如茶，考生对压轴题的畏难情绪得以释放，在心理上树立了答对问题的信心.考题起点低，平实无华，中、下水平的学生也易获得“成功感”.如果命题仅止于这点质朴，作为整卷压轴便失去了价值.命题者是烹饪高手，稍加“作料”——点M为边AB的中点，又烧出一道脍炙人口的考题（1）②.如此扬起了压轴题的层次，有效甄别了中等以上学生.然而考题似意犹未尽，对（1）②放宽条件，再拔新高，去掉中点M，逆向思考，遂成问题（2），试题难度再次“高温发酵”，至此，考题对“学优生”与“中等生”具有了鲜明的区分度，拉大了不同能力考生的考分差距，试题的甄别功能豁然明朗.本道考题的命制过程，正好彰显了几何试题改编与创新的途径：立于课本典型习题，或强化条件，或弱化条件，或逆向思考，或挖掘一般性，或驻足特殊性，或整合例题和习题，或伸向教材阅读材料.一道好的考题，常常是在质朴中扬新，一道备受青睐的压轴题，追求的当是低输入、高输出.

2.解法开放，千秋统一，在简练解法的探求中分享函数奇彩.

一道乐于称道的考题，不但体现在设计上，还表现在解法上既互异又统一.不同方法中有着统一，在统一中障显着异彩，差异与统一交相辉映.本题解法开放多样，使不同“学力”的人，能立足于自身的认识结构，形成不同的解法.对于第（1）①问，解题入口明朗，考生的解法主体上都统一在寻求△ABE≌△BCF上.不同之处，在证角的途径上略有差异，限于篇幅这里不再一一罗列.对于第（1）②问，解题入口比较隐蔽，但解法也主要在集中统一于证明△CGE∽△CBG，只是在寻找角相等的细节上与CG=BE时略显千秋，至于其他方法大同小异，不过绕得很，这里亦不再例举.对于问题（2），中考参考答案给出了两种差异显著的解答，鉴于过于复杂，本文也不再赘述.笔者不满于参考答案的烦琐，经过一番探索，分别从几何和代数角度找到两种相对简练的解法，在此以飨读者，分享函数奇彩，不当之处希不吝赐教.

解法1：如图4，过M点作MN∥BC，则有△CGE∽△MGN，所以

因为BE2=BC·CE，所以

图4

图5

由BE2=BC·CE，知E是BC的“黄金分割点”，从而即tan

解法2：令正方形的边长为1，以AD为y轴、AB为x轴建立平面直角坐标系，如图5所示.

由BE2=BC·CE，知E是BC的“黄金分割”.又BC=1，所以故E

3.立意能力，彰显素养，发挥“基本活动经验”与“几何直观”在解题中“指挥棒”的作用.

本题以质朴立题，在“移步换景”与角度变换中创新试题，突出了新课标的要求——“由知识立意向能力立意转变”.波利亚曾说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒，为了辨别哪一个思路正确，哪一个方向可接近它，就要试探各种方向和思路.”所以每道题的解答，都需要解题者在未知情形下去探索，从认知结构中的“基本活动经验”出发，寻求解题思路，发挥好“基本活动经验”与“几何直观”在解题中“指挥棒”的作用.

解题能力是在亲身的实践中潜移默化形成的.学生的能力起于“基本活动经验”，行于“数学直观”，成于分析和推理，熟于思维方式，收于基本思想.对于第（1）①问，证线段相等，想到三角形全等，去寻找全等的条件，这是解决线段相等的“基本活动经验”之一.再如求证BE2=BC·CE，“基本活动经验”有：把乘积式化成比例式，寻求三角形相似，以及用等量线段替换，在问题串中前一问往往对后一问具有“垫脚砖”的作用；在探索相似过程中，必要时需根据直观添加辅助线.在“基本活动经验”的指引下，几何思考与“几何直观”如影相随，一边分析一边推理.如在“基本活动经验”确定证明△ABE≌△BCF时，“几何直观”与分析和推理同栖同飞，证明全等需要什么条件？图中有吗？能在推理中抵达目标吗？同样对于第（1）②问，证△CGE∽△CBG时，也经历了相同的追问思考.在经历了第（1）题两小问的充分探索与思考后，思维业已成熟，成熟的思维很快意会到第（2）问需要寻找相似，需要添加辅助线.这一思考流程，正是考生能力的再现.解法1是停留在几何层面的思维方式，是基于中考参考答案的反思与优化；而解法2，在思维方式上是一种突变：从几何思维方式转变为代数思维方式，在解题者眼中“线”不再是几何上的“线段”，而是代数上的函数图像，这是深层“基本活动经验”的唤醒.解题之奇，源于“线段”到函数图像基本经验的建构，出于思维方式之奇，收于思想方法之变.

本题立意充分体现了《中国学生发展核心素养总体框架》中“科学精神”之素养.

三、教学导向分析

中考题的命制方向对平时教学起着导航与理念转变的作用.本道试题对数学教学有哪些启示呢？概括起来，可用四个放眼来描述.

1.放眼教材.

一些好的中考题，多以教材为本，从教材的例题、习题中挖掘演变而来.日常教学中，要理解每一道例题、习题的价值，灵活地对有“曲度”的试题进行变式、拓展或改造，拓宽学生的眼界、拓长思维的深度、延伸认识的统一，从而举一反三，解一题通一类.

2.放眼课标和核心素养框架.

教学要研读课标，明重点、清难点，知哪些需深挖、哪些点到为止、哪些需补给、哪些要远足，把握节奏，需慢就慢.要吃透并理解核心素养框架要求，认真落实六大核心素养.

3.放眼实践.

能力，是个体在实践中形成的，教练教游泳，掌握的是写在书本中的知识，只有下水，才能学会游泳.能力是靠学习实践中“基本活动经验”的建构来形成的.解题能力，也只有在解题中构建“基本活动经验”才能形成.所以数学教学，先让学生自己学，教师再介入，进行指导纠正.那种先灌输再练习的做法，缺失的是“基本活动经验”的建构过程，学会的永远是模仿和套用.

4.放眼学生.

决定数学能力的关键是思维方式和思想开放度.思维迥异、思想开放的人才不会畏首畏尾，不会受惯性绑架，这是创新型人才一个突出的标志.所以教学中，不要过早抛掷结论，不要冷对学生质疑，不要用“理所当然”冷视学生热情，要善待学生发出的不和谐的声音，视学生是一个可以共商大计的人.