数学实验：积累数学活动经验的有效途径*

☉苏州工业园区东沙湖学校 李明树

☉苏州工业园区教师发展中心 王晓峰

☉苏州市教育科学研究院 殷容仪

文1中把初中数学实验表述为：“数学实验是学生通过动手动脑，以‘做’为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的思维活动.”而《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》）在教学建议中也明确指出：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验需要在‘做’和‘思考’的过程中积淀，是在数学学习过程中逐步积累的……”［2］多年的教学实践，笔者认为数学实验是积累数学活动经验的有效途径，使课堂教学回归本真的探究活动，教者设计问题螺旋上升、穿针引线，学生拾级而上、不断经历数学知识的发生发展的过程，丰富并积累了数学活动经验，只有这样方能使数学课堂不再是“冰冷的美丽”.本文对《义务教育教科书数学实验手册》八年级上册实验10《折纸与含30°角的直角三角形》和实验15《“螺旋图”中的无理数》的课堂教学片段实录为例，结合课堂教学途径的微探和赏析，谈谈自己的感悟，期望数学课堂教学向更高效发展.

一、从经验积累到经验迁移

案例1折纸与含30°角的直角三角形.

（上课前教师出示一组生活中折纸图片，引入课题）

实验1：请折出一个含30°角的直角三角形.师：取出一张正方形纸片，按如图1所示的方式折叠.

图1

（众生折纸、讨论交流）

生1：展示折纸的过程.

师：你认为图2中哪个角是30°？

图2

图3

生1：∠CBH.

师：你觉得∠CBH一定是30°吗？

生1：不确定.

师：同学们谁能说明理由呢？

生2：我通过再次折纸，把∠ABG折过来，得到图3，发现与前面折纸后的角重合了，此时的直角被三等分了，所以∠CBH一定是30°.

师：你的想法很有创意，折纸后观察得出结论具有说服力吗？可否证明呢？

生3：假设∠CBH=30°，由折叠可知∠CBH=∠GBH，而∠ABC=90°，所以∠CBH=∠GBH=∠ABG=30°.

生4：连接MC，如图4，由折叠可知∠CBH=∠GBH，△GBM≌△CBM，所以∠BGM=∠BCM，由折叠可得MB=MC，进而得到∠MBC=∠MCB；又因为AB∥EF，所以∠ABG=∠BGM，最后可得∠CBH=∠GBH=∠ABG=30°.

图4

图5

师：太棒了，你的讲解太精彩了，不过方法略显烦琐，没有抓住折纸的本质！请同学们重新按照图1的步骤折纸，并思考能否从折叠性质的角度去寻求更加简易的证明方法呢？

（众生不约而同地再次按照图1的步骤进行折纸、讨论交流）

生5：（激动地跳起来）老师我发现了！连接GC，得到图5，由第一次折叠利用轴对称的性质可得GB=GC，由第二次折叠利用轴对称的性质可得BC=BG，从而得到GB=GC=BC，即△GBC是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一可得∠CBH=∠GBH=30°.

实验2：探索30°角的直角三角形的性质.

师：请你剪下图2中三角形纸片CBH，并按图6所示方法折叠.

图6

生：众生剪纸、折叠、思考.

师：如图7所示，AE、DE分别是上述两次折叠的折痕.AC与AD、BD与AD分别有怎样的数量关系？请说明理由.

生6：经过两次折叠后，通过观察，发现AC、BD均重合在AD上.

生7：折痕AE和DE所在的直线分别为两次折叠的对称轴，根据轴对称图像的性质可知，AC=AD，BD=AD，即AC=BD=AD.

师：你们知道在这个直角三角形中为什么存在这样的关系呢？这个直角三角形有什么特殊性？

生8：有一个锐角是30°角的直角三角形.

生9：如果有两个含有30°角的直角三角形的两条较长的直角边重合拼图，可等到一个等边三角形，就是图5中的△GBC.

师：看来同学们已经由前面的活动积累了丰富的数学经验了！含有30°角的直角三角形中到底有什么重要的性质呢？

图7

生11：含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.

案例分析：迁移能力是一种重要的创新能力.“第一次数学活动中获得原初经验；第二次遇到相同情景时，经验再现，称为再生经验；再次遇到类似情景时，迁移运用先前经验，产生再认识经验；在形式不同本质一样的新情况下，按照‘模式’重复运用这种经验时，这种经验就成为概括性经验”.［3］案例中的实验操作内容是为苏科版义务教育教科书《数学》八年级上册“2.5等腰三角形的轴对称性”而设计的.本实验是进一步引导学生加强对轴对称性质的理解，进而利用轴对称的性质探索含30°角的直角三角形的性质，丰富学生对含30°角的直角三角形相关特征的认识，提高了学生的数学思维.实验1中教师设置的问题旨在引领学生不断地在“做数学”中思考，在经历折出含30°角的过程中，学生手在动，脑在思.学生猜想∠CBH=30°之后，学生2想到了利用前面折纸的活动经验把∠ABG折过来，感性地认为直角被三等份了；生3的“假设”说理方法也是停留在“感觉”上，而生4的发现仅仅停留在“解数学题”层面上，那么此项操作活动到底给学生带来怎样的数学经验呢？《标准》中明确指出：“教师的‘引导’作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想……”［2］此时教师及时引导学生从折叠性质的角度去寻求解决问题的路径，再次引导学生动手折纸，从而探究问题的本质，为后续探究实验2积累了丰富的数学活动经验，图6的折纸步骤即抓住轴对称的性质探究含30°角的直角三角形的边角关系，加深了对轴对称的认识，也积累了对“折纸”问题研究的经验.

二、从经验内化到经验升华

案例2“螺旋图”中的无理数.

片段1：引入（读图）.

师：同学，大家看到图8后，你想要研究什么问题呢？（教师对△ABC是格点三角形做适当的说明）

生12：可以求△ABC的面积.

生13：可以研究线段的长度.

师：你能写出线段的长度吗？

图8

图9

师：你是怎么求出AB和AC的呢？他们是什么数？

生14：在网格线里构造如图9所示的直角三角形即可，它们都是无理数.

片段2：网格线中构造无理数线段（画图）.

生15：在网格线中构造格点Rt△ABC，两条直角边分别是1、4，根据勾股定理可知其斜边即为

师：不错，看来大家已经掌握如何构造了，你能构造一条长度为的线段吗？

生16：在网格线中构造格点直角三角形，两条直角边分别是1、5即可.

（众生思考，在网格线中尝试操作、画图）

生17：我发现如果仍然使构造的直角三角形的两直角边还是正整数的话无法构造了.

师：那格点直角三角形的两条直角边能否是无理数呢？

图11

图10

（众生继续尝试网格线中操作、画图，生18展示自己的作品并解说）

（教师通过几何画板展示生18所述，如图11）

师：图11中的△GDF是直角三角形吗？

生：证明图12中的△GDM≌△FNG即可.

图12

图13

生19：还可以这样构造，如图13，因为26=8+18，所以依次构造直角边分别为和的两个格点直角三角形即可，8=4+4，18=9+9，最终又转化为构造的直角三角形的直角边还是有理数，把斜线段转化为我们熟悉的“横”平“竖”直.

片段3：白纸上构造无理数线段（想图）.

生20：构造直角边分别是1和1的直角三角形，斜边即为所求.

生21：构造直角边分别是1和2的直角三角形，斜边即为所求.

（众生尝试画图）

图15

案例分析：“经验是个体在认识事物、解决问题等活动过程中获得的关于对象的观点、看法、做法等.从学生认知的角度，经验是个体获得知识、方法之前必然面对的事物”，［4］数学活动经验是指“在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考查和思考，从感性认识向理性认识飞跃时形成的认识.”［5］这与数学实验的积极倡导者、江苏省教研室副主任、特级教师董林伟所提倡的“教学理念”和“教学主张”不谋而合.案例2的操作内容是为苏科版义务教育教科书《数学》八年级上册“4.3实数”而设计的.通过读图、画图、想图等活动感受无理数是客观存在的，进而引导学生通过用数轴上的点表示一些无理数，感悟实数与数轴上的点一一对应.首先，在方格纸上给定一个△ABC，△ABC的三边有“直（横或竖）”或“斜”，引导学生感受两种线的不同，将方格纸上的斜线看成某一个直角三角形的斜边，利用勾股定理求出这些线段的长，发现它们都是无理数；其次，在方格纸上通过构造直角三角形的斜边，画出长度为和的线段，感受无理数的真实存在，学生有了“读图”的经验很顺利地构造了的线段，此时学生已经具备了足够的数学经验：网格线中构造直角三角形即可构造无理数.因此，在网格线中学生构造的线段时想到了两直角边为1和5的直角三角形.在学生正处于“陶醉”之中时，教师发难提问：“为斜边的格点直角三角形还有其他情况吗？”顿时使得学生怀疑自己已经积累的数学活动经验是否正确？除1和5为直角边的直角三角形之外，是否还有直角边依然是正整数的情形呢？再次激发学生进入重新想图、画图的实验操作中去，经过反复的实验发现：两直角边“横平竖直”（有理数情形）的情况只有一种，于是想到两直角边均是“斜线”（无理数情形），获得了构造的直角三角形的直角边最终还是“横”平“竖”直的现象.这个宝贵的数学经验对“白纸上构造无理数线段”、“制作无理数尺”、“无理数尺表示无理数”“、数轴上表示圆周率π”等系列问题提供了必要的积淀，促使学生的数学活动经验由内化走向升华.

三、基于积累数学活动经验的课堂教学思考

1.数学课堂教学应激发学生手做脑思

我国现行的中小学数学教学活动中，学生的学习行为大致是这样：听老师讲，做大量的习题加深理解并形成一定的“解题技能或技巧”而非解决问题的能力，其教学流程如图16所示.这种学习方式有利于知识的认同与接受，有利于培养学生的“双基”（基础知识和基本技能）；但是，这种“教与学”的活动方式的弊端是：学生的视野中充斥的是习题（question），而不是问题（problem），不利于激发学生学习的主动性，不利于培养学生发现问题和提出问题的能力，更不利于培养学生的创新精神和实践能力.所谓“做”为支架，是指通过“做”数学来学习数学，“做中学”是美国教育家杜威（Dewey）提出的一种教育理念或教学方式.而初中数学实验与杜威的“做中学”是一脉相通的.数学实验以“做”为支架，学生通过动手操作、动脑思考的思维活动来建构意义，学生不断思考和对各种信息进行加工转换，基于经验与旧经验进行综合和概括去建构知识，这种经验的获取、转换、积累对于社会可能微不足道，但是对于学生却是难得的，这种积极向上的精神会让学生的学习过程和生活获得快乐的，初中数学实验教学流程如图17所示.例如，在进行苏科版义务教育教科书《数学》七年级下册“7.4认识三角形”内容教学时，笔者加入了利用三角形纸片（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形若干）折三角形的“三线”（三角形的角平分线、中线、高线）的数学实验活动，学生在经历了折三角形的角平分线和中线的研究方法时积累了几何图形研究的基本活动经验，而在对钝角三角形的“高线”进行探究时，只折叠出了一条“高线”，另外两条无法按照前面的经验获得，于是教师给学生一个“锦囊”，把三角形纸片贴在一张足够大的矩形纸上再进行实验操作，终于突破“难关”，在这个“难关”突破的同时，学生积累了“大平面观”意识研究几何图形；再如，在探究“线段的轴对称性”时，在纸上任意画一个点A，把纸对折，用针在点A处扎孔，再把纸条展开，并连接点A与点A′，进而得到线段的垂直平分线的性质，为后续探究角、等腰三角形的轴对称性积累了必要的经验，即折叠法探究角、等腰三角形的轴对称性；又如，“探究多边形外角和”一节中，通过对三角形、四边形、五边形度量、拼图、转笔等一系列的探究活动，让学生在过程探究中获得基本活动经验，并获得“多边形的外角和为360°的结论……章建跃博士这样说过：良好的数学课堂应基于理解数学、理解学生、理解教学的维度展开，即知其然，知其所以然，何由以知其所以然.

图16 传统教学程式

图17“做”中学教学程式

2.数学课堂教学应关注学生核心素养

江苏省中小学教学研究室副主任董林伟先生在《初中数学实验的理论与实践研究》一书中提出：“‘做’为支架、手脑并用、启思明理，促进学生数学思维发展”数学实验教育理念，与“以学生发展核心素养为纲”的课程理念具有高度一致性.《标准》在“双基”的基础上提出了“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，这里的基本活动经验就是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识……数学活动经验是过程、经历，主体性、动态性、活动性是其主要特征，主要在“做”数学的过程中获得，在“数学化”的过程中获得，在数学探究中获得.因此，数学实验是学生积累数学基本活动经验的一种重要途径.中国教育学会中学数学教学专业委员会理事长章建跃博士认为：数学实验给数学学习带来了全方位的影响，从认知方面看，主要给学生的学习方式带来了实质性变化.在数学实验中学生调动各种感官参与数学认识活动，抽象数学概念、原理，并开展归纳、类比、抽象、概括，抽取共性而获得数学概念，发现规律而获得数学原理和性质，并获得解决问题方法的启发.中国数学教学含义在经历了八次课程改革的洗礼后不断被充实，从“知识教学”逐步发展为“能力教学”，现如今已经进入“学生核心素养与学科教学融合”的新阶段，把培养、提升学生的一般核心素养与学科核心素养作为课程的基本目标.中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为六大素养，具体细化为18个基本要点，其中对“科学精神”描述为：理性思维、批判质疑、勇于探究，显然数学实验对发展学生的核心素养起到非常重要的作用.

1.董林伟.初中数学实验的理论与实践研究［M］.江苏：江苏凤凰科学技术出版社，2016（12）.

2.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.仲秀英.促进学生积累数学活动经验的教学策略［J］.数学教育学报，2010（10）.

4.马复.关于促进学生数学活动经验的教学认识［J］.中国数学教育，2011（2）.

5.徐斌艳.面向基本数学活动经验的教学设计［J］.中学数学月刊，2011（2）.H