运用问题链提升立体几何推理论证能力*

广东省广州市东圃中学(510700)彭红亮

《考试大纲》中认为“推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题真实性的初步的推理能力”.解决立体几何问题有助于培养学生的推理论证能力.学习立体几何时,教师可设计系列问题链作为“脚手架”,让学生在循序渐进的过程中培养推理论证能力.

一、运用问题链帮助学生理解立体几何的定理(或公理)的本质

立体几何公理、定理是证明的基本工具.不懂原理,不懂本质,是不可能灵活应用解决立体几何证明题的.因此,教学时不能直接抛出定理,让学生死记硬背之后硬套,而是应该设计问题链,让学生在思考、探究的过程中体会定理的产生过程,学会通过观察、探究、猜想、归纳等过程获得定理,再理解定理的内在涵义,掌握定理的表述方式,并提炼应用定理解决问题的具体操作步骤,帮助学生理解和应用.

案例1 线面平行的判定定理

学习线面平行的判定定理时,可以抛出几个生活现象,让学生依据表1中的问题链思考这些生活现象中的数学本质是什么.然后帮助学生建立图形、文字、符号之间的关联,便于相互转换和表述交流.最后,通过理解,提炼解题模式,便于操作和记忆.具体如下(见表1):

表1“线面平行的判定定理”的学习“问题链”

二、运用问题链帮助学生掌握立体几何中的基本图形

所谓基本图形,就是指几何概念、定理、公式、方法等所对应的图形,其他几何图形都可以用基本图形进行构造.长方体、正四面体、正三棱柱等都是基本图形,一些不规则图形通常都是由这些基本图形组合而成的.把不规则图形分解成几个基本图形的组合,就能新问题简化、程序化,从而找到解决方案.

案例2 三棱锥

三棱锥是很常见的几何图形,一些特殊的三棱锥具有特殊的性质值得探究.

问题1 已知三棱锥A−BCD(图1①),用平行于三棱锥A−BCD的一组对棱AC和BD的平面截此三棱锥,得到一四边形MNPQ,求证:四边形MNPQ是平行四边形.

问题2 若三棱锥A−BCD中AC=BD,能截得菱形吗?为什么?

问题3 三棱锥A−BCD在什么情况下,可以截得一个矩形?为什么?

问题4 若三棱锥A−BCD中AB=BC,AD=DC,则AC与BD的位置关系是什么?为什么?

问题5 若三棱锥A−BCD中AB=BC,AD=DC,Q、P、G分别是AD、DC、CA的中点,求证:平面BPQ⊥平面BDG.

图1

问题1中对任意三棱锥都结论成立,因为MN平行且等于PQ得证.

问题2中加了条件AC=BD后探究是否能得到菱形,由于从而推出此时截面是菱形.

问题3是在问题1的基础上探究三棱锥要满足什么条件才能保证平行四边形MNPQ邻边垂直.探究后发现当AC⊥BD时,结合MQ//BD,MN//AC可证明MQ⊥MN,最终判断可以截得矩形.

问题4中AB=BC,AD=DC,此时在AC上取中点G,连接BG、DG,易证BG⊥AC,DG⊥AC,从而AC⊥面BDG,可得AC⊥BD(图1②).

问题5在问题4的基础上,有AC⊥BD,结合AC//PQ可得PQ⊥BD.又因为等腰三角形ACD中DG⊥AC,从而有DG⊥PQ,于是证明PQ⊥面BDG,最后推出平面BPQ⊥平面BDG(图1③).

这个问题链研究了对棱互相垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、两组邻边相等的三棱锥等特殊三棱锥的特征,提供了在三棱锥中证明平行、垂直的背景和图式,同时也让学生深入认识三棱锥.

三、运用问题链帮助学生提炼立体几何解题模式

我们遇到的问题总是千变万化,如果能从中找出一些经典高效的解题模式,就能提高解题能力.

案例3 鳖臑

鳖臑就是一个基本图形,该图形中互相垂直的线段有:PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC、BC⊥AC、PC⊥BC;互相垂直的线面有:PA⊥面ABC、BC⊥面PAC;互相垂直的平面有:面PAC⊥面ABC、面PAB⊥面ABC、面PAC⊥面PBC.可见,鳖臑囊括了空间中所有的垂直关系.运用这些关系,就能用三垂线法找到二面角的平面角.因此,在研究垂直问题或求二面角的问题时,教师要引导学生在新图形中找出鳖臑,从而快速找到解题方向.

问题1 如图2①,已知AP⊥面ABC,AC⊥BC,求证:面PAC⊥面PBC.

问题2 如图2②,已知AB为⊙O的直径,C是⊙O上异于A、B的点,PA⊥面ABC,求证:平面PAC⊥平面PBC.

问题3 如图2③,线段AB为⊙O的直径,点C是⊙O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F,E是线段PB上异于端点的一点.求证:平面AEF⊥平面PBC.

图2

首先通过问题1让学生熟悉如何在鳖臑这个图形中,运用线面垂直和线线垂直推出面面垂直,从而得到基本解题模式.然后通过问题2和问题3让学生在图形、条件变化后仍然能找出鳖臑,从而能再次运用基本解题模式.在问题2中,条件“AB为⊙O的直径,C是⊙O上异于A、B的点”也就是问题1中的“AC⊥BC”,只是Rt△ABC的直角位置变了.还有,条件“PA⊥面ABC”和结论“平面PAC⊥平面PBC”都一样,所以这个题目中的三棱锥P−ABC也是鳖臑.可见除了图形变复杂之外,条件和结论基本上一致.因此,推理思路和证明方法一样.问题3的条件“线段AB为⊙O的直径,点C是⊙O上异于A、B的一点,PA⊥平面ABC”和变式1一样,也就是说三棱锥P−ABC是鳖臑.但是这个题目多了条件“AF⊥PC于F,E是线段PB上异于端点的一点”,因此图形比变式1多了△AEF.根据条件,再观察图形,发现三棱锥P−AEF也是鳖臑.类似于问题1的方法可以证明该结论.

这组问题链说明:遇到一个复杂的问题时,要仔细研读条件,认真观察图形,从中找到基本图形模型和基本解题模式,并运用它们来解决问题.也就是说,立体几何中有关垂直问题的定理及其应用、二面角的相关知识可以用鳖臑这个基本图形来进行编码,建立了一个关于此类知识的概念图式,并作为解题模式帮助学生寻得垂直关系或二面角的平面角.这个概念图式包含了极其丰富的信息和非常直观的几何表象,有利于学习者进行存储,而且经久难忘.

随着对“鳖臑”这个空间图形的敏锐度的提升,学生会更加迅捷地找到证明垂直关系的思路.因此,在几何教学中必须充分重视基本图形的结构分析以及它们的组合和应用.这样就能把一个复杂的题转化成已经会做的解题模型从而得解.

总之,推理论证能力架构在丰富的思维方式上,包括归纳、类比、逻辑分析、建模、系统化、最优化等,是一个系统的动态发展过程.教学中应关注学生的基础和需求,运用问题链引导学生逐步理解基础知识的本质,掌握基本图形中隐含的特征,提炼解题模式并学会灵活运用,提升推理论证能力.