职前与在职小学数学教师HCK的比较研究

庞雅丽



职前与在职小学数学教师HCK的比较研究

庞雅丽1，2

（1．上海师范大学 教育学院，上海 200234；2．Texas A & M University 教育学院，美国 德克萨斯州）

从知识的起源、知识的横向联系、知识的纵向联系、知识的本质4个维度考查职前与在职小学数学教师的HCK（横纵向内容知识）这类学科知识的掌握情况．研究发现，被试的HCK不够丰富；不同教龄的教师的HCK水平无显著差异；修过小学数学知识理论类课程的职前教师的HCK水平显著高于10年内教龄的在职教师．基于研究结果，对职前和在职小学数学教师教育提出一些建议．

MKT；HCK；小学数学教师

1 问题提出

从20世纪80年代起，不断有研究表明，数学教师的知识和技能影响着教师的备课、反思、评价等课外教学实践以及课堂上的师生互动，进而影响到学生的数学学习过程及其学习结果[1-5]．同时，数学教师的知识还影响着数学教育改革的实施情况，如何促进数学教师知识的发展成为一项富有挑战性的任务[6-7]．有中美比较研究表明，中国中小学数学教师具有较强的学科内容知识，其学科教学知识的提高主要得益于教学与在职专业发展[8-9]．

然而，随着研究方法的更新和研究的更精致化，研究者们逐渐发现，中国数学教师的学科知识并不如想象中的乐观，存在数学知识系统不够完善、对数学知识的本质不够清楚、在一些概念表征和数学思维的认识上存在偏差等问题[10-12]．那么，在当前师范教育改革的形势下，数学教学所需要的学科知识是否可以通过职前教育获得？在研究如何提高在职数学教师知识的同时，研究者们也日益关注职前数学教师的知识储备．近年来，关于职前教师应该具备怎样的学科知识以便为入职做准备也逐渐成为教师教育工作者讨论的焦点[13-16]．

在关于“数学教师需要怎样的数学知识”的研究中，美国密西根大学的Ball研究团队提出的MKT（Mathematical Knowledge for Teaching）模型获得了较为广泛的关注[17]．中国亦有研究者采用这一框架对数学教师知识进行探索和研究[18-22]．但已有研究中，绝大部分关注的是初中或高中数学教学所需的数学知识，对小学数学的研究较为缺乏．实际上，Ball研究团队提出MKT模型的初衷正是为了理清小学数学教学所需要的数学知识，这一模型对MKT的两大子成分SMK（学科内容知识）和PCK（学科教学知识）进行了更为细致的刻画，其中，将SMK细化为CCK（一般内容知识）、SCK（专门内容知识）、HCK（横纵向内容知识）．

教师首先要懂得要教给学生的知识（CCK），这毋庸置疑．Ball团队指出，数学教学需要的学科知识还有两大特点，拆解性和联系性[23]．数学的重要特点之一是它能够将信息压缩成抽象的形式，以抽象的符号形式表征概念，也正是由于这种压缩和抽象带来的简化性，才有可能对概念进行进一步的操作．然而，教师需要能够将数学知识进行拆解，即，要知其所以然，这正是SCK的范畴．联系性是指，教师不仅要建立数学不同分支不同内容间的横向联系，而且要建立同一主题在不同阶段的纵向联系，了解随着时间的推移数学是如何发生发展变化的．这属于HCK的范畴．

较为遗憾的是，Ball团队后来进行的实证研究中并没有涉及HCK．事实上，纵览近年来关于小学数学教师学科知识的研究，大多关注的也是CCK和SCK．那么，一个自然的问题就是，在职与职前小学数学教师对HCK这类学科知识的掌握情况是怎样的？这类学科知识会随着教学经验的丰富而增长么？这类学科知识有可能通过职前教育获得么？因此，具体研究问题如下：

（1）在职小学数学教师的HCK水平如何？不同教龄教师的HCK水平是否存在差异？

（2）职前小学数学教师的HCK水平如何？哪些方面有待提高？

（3）职前与在职小学数学教师的HCK水平是否存在差异？

2 研究设计与方法

采用测试调查的方法，测试卷的编制借鉴了Ball研究团队深入一线的方法．研究者利用两年来数十次到上海多所小学听课、评课、参与教学设计等机会，收集了小学数学教师在学科知识方面犯的错误、模糊的认识、存在的疑问，从中提取了属于HCK范畴的学科知识问题，编制了“小学数学教师HCK测试卷”，共17题．基于HCK的内涵，将其细化为知识的起源、知识的横向联系、知识的纵向联系、知识的本质4个子维度．测试题在各子维度的分布见表1．

在测试题编制过程中，考虑到就小学阶段的数学学科内容知识而言，HCK难于CCK和SCK，若采用开放式主观测试题，在职被试可能存在抗拒作答的心理，从而导致回收到大量无效数据，故研究全部采用客观题对被试进行测试．研究者与另两位数学教育工作者就各题目所考察的知识点和所属类别先独立编码，后集中商讨，最终一致性达到100%．

表1 测试卷在HCK各子类别的题目分布

研究者选取上海某高校小学教育专业理科班2013级与2014级共122名师范生作为职前教师的样本，随机选取上海J区和F区小学数学教师共98名作为在职教师的样本，其中J区位于上海市区，F区位于上海郊区，J区的教学质量和师资水平均高于F区．在测试前，职前被试已修过高等数学类课程和一般教育类课程，2013级修过一门小学数学知识理论类课程《小学数学研究》，2014级则未修过这门课，此外职前被试没有修过任何其它的数学教育类课程．测试于2016年春季学期初完成，收回有效答卷220份，回收率100%．

3 研究结果与讨论

3.1 在职小学数学教师的HCK测试结果

3.1.1 在职小学数学教师的HCK整体测试结果

在职教师的HCK测试结果见表2．各子维度及总的平均得分率均不超过60%，表现尚可的是H4（知识的本质），表现最弱的是H3（知识的纵向联系）．

表2 在职教师在HCK测试中的得分情况

进一步考查H3维度的测试题，其涉及的知识主要是在数概念发展的不同阶段，其命数法和记数法、运算法则、运算的封闭性、运算的互逆性是如何发展变化的．其中第6题和第9题的正确率均不足30%．数与运算是小学数学最基本、所占比例最大的内容，教师需要了解数集扩充的历史顺序和逻辑顺序，才能对小学数学中涉及到的自然数、整数、分数、小数的起源、数概念的发展、不同数集中运算的不断发展变化有更丰富的认识．显然，在职被试在这方面的知识储备还不足以高屋建瓴地看待小学数学中的数与运算，从而更好地组织教学，指导学生的学习．

3.1.2 不同教龄的教师HCK水平的差异性

将在职被试按照教龄分为两组，教龄不足10年的为组1，教龄满10年及以上的为组2，两组在职教师在HCK各维度的表现见表3．组2的整体HCK水平高于组1，尤其表现在H1（知识的起源）和H2（知识的横向联系）两个子维度上．而在H3维度，组2反而低于组1．

表3 不同教龄的教师在HCK测试中的平均得分情况

对两个教龄组别的被试的平均得分进行单因素方差分析，结果见表4和表5．

表4 不同教龄组别教师测试成绩的方差齐性检验结果

Levene’s Test for Equality of Variance的各显著性值均大于0.05，说明各组数据的方差是齐性的．组1的HCK测试成绩（=8.85，=1.76）与组2（=9.37，=1.77）之间无统计意义上的显著差异（=2.143，=0.146 > 0.05）．但就各子维度而言，组2的H1和H2得分均显著高于组1（H1:=4.341，=0.04 < 0.05；H2:=4.323，=0.04 < 0.05），在H3和H4维度上两者无统计意义上的显著差异．

表5 不同教龄教师的测试均值成绩的ANOVA结果

随着教龄的增长，教学经验日益丰富，教师可能会更加关注“知识的起源”和“知识间的横向联系”，以便更合理地进行教学设计，这两个维度上的知识会有较明显的增长．但教龄增长并不会导致教师获得更多的“知识的纵向联系”，从研究结果看，甚至出现了教龄越长，这类知识越弱的情形．这一方面可能是由于10年以上教龄的教师大多是中师毕业，即便后来进修本科，但在学科知识的储备上较为不足；另一方面也说明这类学科知识很难通过在职教学经历自然获得．教龄对教师关于“知识的本质”的认识，则基本没有影响．从整体上来看，随着教龄的增长，教师的HCK整体水平会有所提高，但并不显著．

3.2 职前小学数学教师的HCK测试结果

职前教师的HCK测试结果见表6．平均得分率最高的是H1维度（知识的起源），其余子维度及总的平均得分率均不超过60%，其中得分最低的是H2（知识的横向联系）．

表6 职前教师在HCK测试中的得分情况

进一步考查H2维度的测试题，其涉及的知识主要有自然数与集合之间、不同运算之间、不同几何体的度量之间的联系．其中，第4题的正确率仅为12%，将近九成的职前被试认为“乘法是加法的简便运算”，而忽略了这仅仅在自然数范围内成立．H2维度的低得分率表明，职前被试头脑中的数学知识之间的横向联系是非常薄弱的、片面的、亟待提高的．

3.3 职前与在职小学数学教师HCK水平的差异性

对职前和在职被试的HCK测试平均成绩进行独立样本检验，表7显示，两组数据无显著差异．

考虑到职前被试分别来自2013级与2014级，在测试之前，2014级尚未修过任何数学教育类的课程，而2013级则已修过一门．对2013级职前被试和教龄在10年以内的在职被试进行独立样本检验，表8的输出结果显示，2013级职前被试的HCK平均分（=9.50，=1.75）显著高于10年内教龄的在职教师（=8.83，=1.75）（=-2.043，=0.043 < 0.05），尤其表现在H1（2013级：=3.45；10年内教龄教师：=2.6）和H3（2013级：=2.19；10年内教龄教师：=1.91）两个子维度．在其余两个子维度，职前2013级被试略低于10年内教龄在职被试．

表7 职前与在职教师HCK平均成绩的独立样本t检验结果

表8 职前2013级与在职10年内教师测试成绩的独立样本t检验结果

2013级职前被试在“知识的起源”和“知识的纵向联系”两个维度上的较好表现，可能与所修过的一门小学数学知识理论类课程《小学数学研究》有关．该课程系统地讲述了小学数学中涉及的主要的数学概念、数学法则、数学公式等的来龙去脉．在一名教师从教的前10年是其职业生涯中的重要成长期，HCK的缺失会影响教师对数学的整体把握，进而影响教师的数学教学以至其专业发展．而研究表明，这类学科知识是有可能通过职前教育获得的．

4 研究结论及启示

4.1 职前与在职小学数学教师的HCK均不够丰富

职前教师对数学概念的起源有较清晰的认识，但对知识间的横向联系的理解极为欠缺．在职教师能较好地理解数学概念的本质，但对知识的纵向联系的认识比较欠缺．

因此，在职前小学教师教育课程中，应注重数学知识间的横向联系，将看似孤立的知识点联结成一张彼此关联的知识网，提高职前教师的学科素养．在职培训则需加强数学知识间的纵向联系，特别是某些重要概念的起源、发生、发展及变化，了解一定的数学史可帮助提升教师这方面的学科知识．有研究者曾以中学阶段无理数为例，研究了数学史对提升HCK的作用[24]．开展基于数学史提升小学数学教师的HCK类学科知识的行动研究将非常有意义．

4.2 不同教龄教师的整体HCK水平没有显著差异

10年以内教龄的教师与10年以上教龄的教师在整体HCK水平上没有统计意义上的显著差异．但具体到各子维度，研究发现，随着教龄增长，教师关于知识的起源和知识间的横向联系这两类学科知识会有显著增长，但对知识间的纵向联系的理解反而呈下降态势．这一结果再次佐证了在职培训中需加强知识间的纵向联系的必要性．

随着教龄增长，教师的教学经验日益丰富，有研究表明，对教学实践的反思可提升教师的PCK[25]，但其SMK未必会随着教学实践而自然增长．研究显示，教师的HCK中的某些子成分（知识的本质、知识间的纵向联系）并不会随着教龄的增长而自然增长，因此，在职培训应避免一把抓，而应聚焦教师的薄弱环节，设计相应的培训方案，有针对性地提升教师的HCK．

4.3 修过小学数学知识理论类课程的职前教师HCK水平显著高于10年内教龄的教师

职前被试与在职被试的HCK水平无显著差异．但当考查修过小学数学知识理论类课程《小学数学研究》的2013级被试这一群体时，研究发现，这些职前教师的HCK水平显著高于10年内教龄的在职教师．在职教师或许从在职培训中也可零星获得一些小学数学理论知识，但缺乏系统性，效果并不佳．

这从一定程度上表明，HCK可以通过职前获得，从而为师范生入职后的专业发展提供深厚的学科基础．有学者提出，基于MKT视角，构建小学教育专业面向HCK的课程《小学数学研究》和《数学史》[26]，这里的研究为这一设想实施的可行性提供了证据．如何更好地将提升HCK水平与现有职前数学教育类课程进行整合，是值得数学教师教育工作者当下思考的问题．

致谢：感谢美国Texas A&M University李业平教授对本文写作的指导．

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Comparative Study of Horizon Content Knowledge between Pre-Service and In-Service Elementary Mathematics Teachers

PANG Ya-li1, 2

(1. Shanghai Normal University College of Education, Shanghai 200234, China; 2. Texas A & M University College of Education, Texas, U. S. A.)

Horizon content knowledge (HCK) of pre-service and in-service elementary mathematics teachers was investigated according to four dimensions as follows: the origin of knowledge, the horizontal connection of knowledge, the longitudinal connection of knowledge, and the essence of knowledge. The findings suggested that participants’ HCK was not rich enough. There was no significant difference in HCK among teachers of different teaching ages. The HCK level of pre-service teachers who had learned elementary mathematics theory course was significantly higher than that of in-service teachers who had been teaching for no more than ten years. Some suggestions about pre-service and in-service elementary mathematics teacher education were provided based on this study.

MKT; HCK; elementary mathematics teachers

[责任编校：周学智]

2017–11–01

上海市高校青年教师培养资助计划项目——职前小学数学教师MKT的发展研究（B913113001017）

庞雅丽（1980—），女，山西孝义人，讲师，博士，主要从事小学数学教与学、数学教师教育研究．

G622

A

1004–9894（2018）01–0058–04

庞雅丽．职前与在职小学数学教师HCK的比较研究[J]．数学教育学报，2018，27（1）：58-61．