周期新型超材料板多阶弯曲波带隙研究

李静茹, 黎 胜,2

(1.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室 船舶工程学院,辽宁 大连 116024;2.高新船舶与深海开发装备协同创新中心,上海 200240)

声子晶体由于其表现出的特殊性质如负折射，声聚焦，弹性波的定向传播和通带禁带性质等，引起了很多研究人员的兴趣。对于减振降噪而言，带隙性质的存在为设计隔声隔振结构提供了新的思路，其中，禁带和通带分别对应的是禁止和允许弹性波传播的频率范围，两者交替出现组成了相应的能带结构。声子晶体作为一种周期结构，由周期性占主导作用而产生的Bragg散射带隙首先被发现。但是，由于Bragg带隙中心频率所对应的波长与晶格常数处于同一量级，难以在较小的周期尺寸下得到低频带隙，所以不能进行有效的低频隔声。Sheng等[1]利用很软的硅橡胶材料包裹较硬的铅球作为局域共振单元排列在环氧树脂基体中，得到了对应带隙频率波长远大于晶格常数的局域共振带隙，进而可以进一步获得对应于较小周期尺寸下的低频带隙，这种类型的声子晶体被称为局域共振型声子晶体。同时，这种类型的声子晶体因为其具有的自然界中不存在的负质量密度，负模量或者两者都为负等特殊性质，被越来越多地应用到设计当中，引起了大量针对不同型式共振单元[2-4]作用下周期结构中弹性波的传播特性的研究。局域共振型声子晶体同时也促进了声学超材料的提出和发展。在工程实际应用当中，应用广泛的板梁结构并不满足理想的声子晶体假设，所以利用声子晶体表现出的频散特性，讨论周期板梁结构与局域共振单元相结合形成的超材料板梁结构更具有实际意义。

Liu[5]等将一维情况下含有橡胶圈的细长梁单胞简化为含有单个弹簧振子的物理模型，利用传递矩阵的方法分析了结构的带隙性质；Xiao等[6-7]分别研究了在薄板上周期排列弹簧振子时产生的弯曲波带隙以及在斜入射声波作用下超材料板的声传递损失；Zhang等[8]利用有限元方法分析了含有薄膜共振器的周期梁结构的的弯曲波带隙并且通过实验验证了这一现象。Song等[9]考虑了包含谐振器的夹心板超材料复合结构中的纵波横波还有弯曲波传播情况，并且基于弯曲波带隙概念分析了有限夹心板，无限大夹心板和等质量夹心板的声透射情况。Sharma等[10]分析了超材料夹芯梁的带隙性质并且给出了对应带隙截止频率的周期梁结构中单胞的模态。国内很多学者对板梁周期结构的振动带隙也进行了分析讨论。温激鸿等[11]采用平面波展开法计算了无限周期条件下细直梁弯曲振动中的弹性波能带结构；郁殿龙等[12-13]对薄壁梁的弯扭耦合振动带隙，多组元板的局域共振带隙以及轴向载荷作用下周期结构梁的弯曲振动带隙进行了研究分析。陈荣等[14]研究了有限个周期单元组成的空腹梁结构，利用传递矩阵的方法得到了结构的力传递率和带隙位置。舒海生等[15]构造了一类Bragg型声子晶体T型杆，利用传递矩阵法研究了其振动带隙。孙勇敢等[16]利用有限元方法计算了周期加肋板结构的振动带隙，并研究了肋骨参数等对结构带隙的影响。

对于板梁超材料结构，在利用局域共振带隙的概念进行隔振设计的时候，多阶带隙的能带结构是我们希望得到的。本文提出了一种新型的超材料板结构：将Huang等[17]提出的超材料结构作为多频率局域共振单元周期排列在二维薄板上。由于共振单元本身的多自由度系统属性，超材料板结构表现出了具有多阶禁带频率范围的频散关系。与以往产生多阶带隙的共振单元不同的是：[18]这种共振单元与结构的相互作用可以使弯曲波发生波型转化，进而在另外的方向上阻隔弯曲波的传播。H.H.Huang 虽然给出了可以近似实现这种超材料结构的两种构型，但并没有对这两种实际构型的性质进行分析，而是对由文献中提出的概念性的结构组成的半无限大一维结构的衰减特性进行了分析，讨论的是这种具有负等效模量周期结构的性质；而在本文当中，考虑到工程结构中板的广泛应用，将这种具有特殊性质的结构作为共振单元与薄板结构结合，提出了一种新型的超材料板结构，重点分析的是板内弯曲波的传播衰减情况；除此之外，薄板结构考虑的是二维晶格空间，而在文献[17]中，针对的只是一维的情况。

本文利用平面波展开方法对这种超材料板结构产生的弯曲波带隙进行了分析讨论，除了求解在给定实Bloch波数下的频散关系外，还计算了不同传播方向下禁带范围内弯曲波的衰减情况，观察不同类型带隙内弯曲波的衰减特性。考虑有限个单胞组成的周期超材料板结构，利用有限元方法计算得到的振动传递损失结果也表明，当激励频率位于多阶频率禁带范围内时，结构的振动响应在空间上得到了大大的衰减，有效抑制了振动在结构中的传播。另外，还讨论了共振单元的参数和超材料板单胞尺寸变化对带隙结构和带隙内波衰减程度的产生的影响，为满足特定隔振性能的超材料板结构的优化设计提供依据。

1 物理模型和求解方法

图1为周期分布共振单元的超材料板结构中一个单胞的示意图。如图1所示，共振单元是由四根质量不计的刚性桁架构件连接而成的左右对称结构，其中，限定弹簧振子m2只有水平方向上的位移，垂直弹簧振子m1在平衡状态下的长度设为L，刚度系数分别设为k2和k1,桁架水平节点相距距离设为B。

图1 单胞和共振单元示意图

Fig.1 The schematic description of the unit cell model and local resonator

本文中的薄板均遵循克希霍夫板假设，含有共振单元的超材料板的控制方程可以写为

(1)

式中:D为薄板的弯曲刚度;ρ和t分别是板的密度和厚度;w(r)是板的法向位移;r=(x,y)指的是板上任意点的位置。u1(R)和v2(R)分别代表附加在位置R处垂直弹簧振子和水平弹簧振子的位移。f1(R),f2(R)和f3(R)可以分别表示为

(2)

其中v1(R)为图1中桁架水平节点处的位移，由小位移假设可以得到

(3)

将式(3)代入式(2)可以得到

(4)

根据结构的周期性，由Bloch定理可得

w(r)=e-ikr+iωtwk(r)

(5)

其中，k为位于第一Brillouin域内的Bloch波矢，wk(r)为周期函数，则可以进一步展开成为傅里叶级数的形式

(6)

代入到w(r)中并且忽略简谐时间因子可得

(7)

其中，G为二维晶格空间对应的倒格矢空间，可以表示成：G=mb1+nb2，m,n为整数，b1和b2分别代表倒格子基矢，并与原胞基矢a1和a2满足如下关系

aibj=2πδiji,j=1,2

(8)

共振单元中的位移同样满足上述周期条件。根据周期条件，任意共振单元位置处的板和弹簧振子位移可以写为

(9)

式(1)中的delta函数满足如下关系

(10)

将式(4)，式(9)和式(10)代入到系统控制方程式(1)中可得

(11)

式(11)右端的delta函数展开成傅里叶级数形式为

(12)

式(12)中级数的傅里叶系数为

(13)

其中S表示单胞的面积。另外，根据式(7)，薄板的法向移可以表示为

(14)

将式(7)，式(12)和式(13)代入到式(11)中板的控制方程，可以得到：

(15)

(16)

式(16)为标准形式下的广义特征值问题，在第一Brillouin域选取相应的实Bloch波矢量，便可以求得在给定实波矢量下的频率特征值，从而求得结构的频散关系，得到相应的通带和禁带频率范围。如果只是确定带隙的频率范围，波矢可以只在不可约Brillouin域的边界上取值。

2 数值计算和结果分析

在算例中，设薄板的厚度为0.002 m，材料为铝，密度ρ，弹性模量E和泊松比μ分别为：2 700 kg/m3,7.0×1010Pa和0.3。选取的超材料板单胞晶格尺寸大小为：a=a1=a2=0.1 m。垂直弹簧振子的质量m1和刚度系数k1分别为0.02 kg和7.106×104N/m，水平方向的弹簧振子的质量m2和刚度系数k2为0.01 kg和3.553×104N/m，两类位置处弹簧振子各自的固有频率都为300 Hz，L/B设为0.5。Bloch波矢量选取在如图2所示的不可约Brillouin域的边界上。

图2 二维声子晶体对应的第一Brillouin域；灰色区域为不可约Brillouin域

Fig.2 The first Brillouin zone of 2D periodic lattice; the grey section represents the irreducible region of the Brillouin zone

图3展示了分别通过平面波展开方法和有限元方法求解得到的结构频散关系，格子线密集和稀疏的区域分别代表的是完全带隙和方向带隙。可以看到，利用平面波展开的方法和利用有限元方法计算得到的带隙结构相同，存在着两阶完全带隙和三阶ΓX方向的方向带隙，带隙频率范围的具体截止频率如表1所示。

表1超材料板的完全带隙和方向带隙的截止频率

Tab.1Boundaryfrequenciesofthecompleteanddirectionalbandgapsinthemetamaterialplate

第1阶完全带隙第2阶完全带隙第1阶方向带隙第2阶方向带隙第3阶方向带隙上界频率/Hz256.083322.823241.375307.571484.067下界频率/Hz276.771369.932276.772369.932575.631

对于局域共振单元来说，不考虑外力作用时对应的动力方程由式(16)可得

(17)

通过求解式(17)可以得到两阶固有频率分别为264.834 7 Hz和339.834 7 Hz。在图3中可以看到，这两阶固有频率全部位于两阶完全带隙和前两阶方向带隙频率范围内部，表明了完全带隙和前两阶方向带隙是由局域共振的原因产生的。对于第三阶方向带隙，上界频率与由通过式(18)求得一阶ΓX方向Bragg频率相同，表明这一阶方向带隙是由于Bragg散射产生的，此时是结构的周期性起着主导性的作用

(18)

式中:a=a1=a2=0.1 m，为单胞的尺寸大小。

图3 超材料板的带隙结构

完全带隙和前两阶方向带隙是由共振单元的共振特性引起的，所以在对应的带隙频率范围内，由于共振单元中四根质量不计的桁架的作用，部分弯曲波转换到水平弹簧振子上，通过水平弹簧振子在水平方向上的剧烈运动来吸收原来弯曲波能量，说明了这种类型的共振单元可以将弯曲波转化为纵波来达到隔声隔振的作用。

上述频散关系是在给定的实Bloch波矢量的情况下得到的，反映的是可传播波的模态性质，不能直接观察到禁带内波的衰减情况。在传播方向已知的时候，可以将求解的特征方程由ω(k)转变为k(ω)的形式，选取符合Bloch波条件的特征解，便得到了给定频率下对应的波数。若得到的波数虚数部分不为0，则对应的频率位于禁带范围内，且波数的虚数部分反映了弯曲波传播的衰减程度。

图4(a)给出了在不同传播方向下x方向波数kx的虚数部分，对应数值不为0的频段范围即是在各个方向下的带隙。在图4中可以看到，不仅ΓX方向带隙与图3中描述的一致，不同传播方向下的带隙的交集部分也对应着完全带隙的范围。另外，在ΓX方向上还存在相对前两阶弯曲波衰减相对光滑的带隙范围，对应于图3中的Bragg散射带隙[19-20]。

图4(b)给出了有限大小的超材料板结构的振动传递损失。有限超材料板结构由在x和y方向上的9x9个单胞组成。激励点的位置选取在有限结构的角点处，反应点的位置取在超材料板结构的中心位置以避免自由边界条件带来的影响。利用有限元方法，在激励位置处施加幅值为1的简谐力激励，分别计算激励位置和反应位置处的位移，通过两者位移的比值来表征振动传递的损失。在图4(b)中可以看到，由于点激励造成弯曲波可以在各个方向上传播，所以振动衰减的部分对应的是产生的完全带隙，可以在各个方向上阻断弯曲波的传播。由之前的分析可知，两阶完全带隙是由局域共振的原因产生的，所以有限板的振动传递损失最大值也在共振单元的固有频率附近处，从图4(b)中看到，可以在低频处阻隔弯曲波的传播。虽然对超材料板单胞带隙性质的分析是建立在无限大的假设上的，但通过对有限超材料板的振动传递损失分析以看到，利用带隙性质对有限大小的隔振结构进行设计，也可以取得理想的结果。

(a) 不同传播方向下弹性波的衰减程度

(b) 9x9单胞排列的有限超材料板振动传递损失分析结果

Fig.4 The attenuation of elastic waves in the infinite and finite metamaterial plates

3 单胞参数分析

共振单元的几何属性，弹簧振子的性质，单胞尺寸等发生改变都会对超材料板的带隙结构产生影响，在这一部分，讨论了不同参数的变化对带隙结构带来的影响。

3.1 共振单元几何形状对结构带隙的影响

首先考虑影响共振单元几何形状的参数比值L/B。L/B会影响弯曲波在传播过程中发生的波型转换，从而改变结构的频散关系。在固定基体材料性质和其他模型参数不变的情况下，图5给出了两阶完全带隙的上下界截止频率随着L/B比值的变化发生的改变。图5中带有符号的实线分别代表完全带隙上下界的截止频率，很容易看到，当L/B由较小的值开始增大的时候，第一阶带隙向低频移动，第二阶带隙向高频移动，这也与共振单元的两阶固有频率变化一致，如图5中没有符号的光滑实线所示。但是当L/B增大到某一值仍继续增大时，第二阶带隙由局域共振原因产生的带隙开始向Bragg带隙转换，上界截止频率不再改变，下界截止频率随着随着L/B的比值的增大而上升进而使得禁带宽减小。所以在进行带隙材料设计时，要考虑适当大小的L/B来满足自己的设计需求。

图5 L/B变化对带隙结构的影响

图6表明的是ΓX方向带隙在随着比值L/B的变化发生的改变。同样可以看到，当L/B开始增大的时候，前两阶局域共振带隙和第三阶Bragg带隙保持自身带隙类型不变，第一阶局域共振带隙朝低频移动，第二阶局域共振带隙朝高频移动，Bragg带隙上界截止频率上升导致带隙宽度增大。当L/B比值增大到某一数值的时候，位于第三阶的Bragg带隙转变为局域共振带隙，第二阶局域共振带隙转化为由Bragg散射原因产生的Bragg带隙。另外注意到，在L/B比值变化过程当中，存在一个特殊的数值，使得二阶方向带隙和三阶方向带隙之间通带宽度非常窄，此时带隙的宽度几乎可以是第二阶局域共振带隙和Bragg散射带隙宽度的总和，这种现象在文献[6,10]中也观察到过。

图6 L/B对结构方向带隙的影响

图7展示了在共振单元作用下，不同几何形状下的机械阻抗幅值的变化。可以看到，随着L/B的增大，机械阻抗在第一阶共振频率附近变化迅速，在第二阶共振频率附近变化缓慢，因此在低阶共振频率处阻抗失配的区域较小而在高阶共振频率处阻抗失配的区域较大，所以随着参数的增加，第一阶方向带隙宽度减小，第二阶范围增大。除此之外，在Bragg频率处，L/B数值大的对应的机械阻抗也大，所以Bragg禁带范围也增大了。可是当参数继续升高，到慢慢靠近Bragg散射频率时，就不能单单用机械阻抗来解释，此时的情况变得十分复杂。由文献[21-22]可知，在一维超材料结构中，带隙的上下界截止频率可以由特殊边界条件下的单胞的固有频率来求得，传播模态即为相应频率下的固有模态。对于超材料板结构来说，带隙的截止频率同样对应与特殊的固有传播模态。当随着参数变化，局域共振带隙的上界截止频率慢慢靠近Bragg频率时，对应的模态与Bragg频率下的模态几乎重合，由于此时Bragg频率作为第三阶方向带隙的下界截止频率，所以导致出现一个非常宽的禁带范围，中间仅存在一个非常窄的通带范围，这与文献[21]中观察到的不存在任何宽带的现象不同。这是因为，文献[21]中的一维简单结构与本文中板结构的运动控制方程不同[22]。当参数继续增大，带隙截止频率对应的模态发生改变，共振单元的高阶频率增加，第二阶方向局域共振带隙的下界截止频率高于Bragg频率，所以原来位于第二阶方向局域共振带隙变为第三阶方向带隙，而Bragg散射频率下的模态对应于第二阶带隙的上界截止频率，第二阶方向带隙转变为Bragg带隙。

图7 L/B对机械阻抗的影响

3.2 弹簧刚度系数对结构带隙的影响

除了共振单元的几何属性之外，弹簧振子固有频率的变化也是一个重要的因素。在这里假定水平和垂直弹簧振子的质量都保持固定不变，则固有频率的变化就反映在相对应的刚度系数上。为了更清楚地观察到水平和垂直弹簧振子的固有频率对结构带隙性质的影响，分别考虑两种情况：一种是保持水平弹簧振子的的刚度系数不变，改变垂直弹簧振子的刚度系数与水平弹簧振子的刚度系数的比值；另一种是保持垂直弹簧振子的刚度系数不变，以同样的比值大小来改变水平弹簧振子的刚度系数。

图8(a)映了在水平弹簧振子的刚度系数不变的时候，随着k1/k2的改变，结构的带隙的截止频率发生的变化。带有圆圈和三角符号实线代表的是结构频散关系中第二阶和第四阶中最小的频率，带有正方形和五角星符号实线分别代表第一阶和第三阶中最大的频率。当k1/k2的比值由零刚开始增加时，局域共振单元的固有频率也随着增加，但是低阶固有频率相对于高阶的固有频率变化较快，所以低阶的带隙宽度增加较为迅速。随着k1的持续增加，共振单元原来的高阶固有频率对应模态转化为对应于低阶固有频率的模态，而原来低阶频率对应的模态则转化为现在高阶频率对应的模态，则此时的高阶频率变化相对于低阶频率变化较快，所以第二阶局域共振带隙宽度显著增大；当k1再继续增大，第二阶局域共振带隙转变为Bragg带隙，直到k1足够大的时候，相当于只有水平弹簧振子作用下的带隙，第一阶带隙宽度非常小。在图8(b)中可以看到，在k1比较大的时候，本文中考虑的结构产生的第二阶带隙上下界截止频率与只有一个弹簧振子作为共振单元产生的带隙截止频率基本相同，此弹簧振子性质与水平位置处弹簧振子性质相同。

(a) 垂直弹簧振子刚度系数变化对带隙截止频率的影响

(b) 与含有单个弹簧振子的超材料板的带隙截止频率的比较

图9(a)则反映了另外一种情况，即当垂直弹簧振子的刚度系数固定时，按照同样的k1/k2比值来改变水平弹簧振子的刚度系数，带隙结构的发生的变化。在图9(a)中,当k1/k2比值很小的时候，水平弹簧振子的刚度系数非常大，由式(16)可知，共振单元的高阶频率很大，超过了一阶Bragg散射频率，这时只有低阶固有频率产生的第一阶局域共振带隙，随着k2的减小宽度减小且朝低频移动；当k2继续减小，经过一阶Bragg散射频率以后第二阶局域共振带隙开始出现；当k2进一步减小的时候，此时共振单元的两阶频率对应的模态位置互相转换；当k2很小的时候，可以看作是只有垂直弹簧振子作用产生的带隙，如图9(b)所示。

(a) 水平弹簧振子刚度系数变化对结构带隙截止频率的影响

(b) 与含有单个弹簧振子的超材料板的带隙截止频率的比较

考虑这两种情况下ΓX方向带隙的变化。在第一种情况，如图10(a)所示，虚部数值大小代表了禁带内波的衰减程度，虚部为0对应的是通带范围。前两阶局域共振方向带隙和完全带隙情况相同，当k1由很小的数值开始增大的时候，低阶局域共振带隙相对于高阶局域共振带隙变化较快，第三阶带隙为Bragg散射带隙，且带隙宽度和弯曲波衰减的程度都是随着k1的增大而增大；当k1增大到一定程度的时候，第一阶局域带隙的宽度开始减小，k1继续增大，第二阶局域带隙转化为Bragg散射带隙，而处于第三阶带隙位置的Bragg散射带隙转化为局域共振带隙, 带隙内的弹性波的最大衰减程度也随着增大。考虑第二种情况时，如图10(b)所示，当k2很大的时候，相当于只存在两阶带隙，分别为第一阶的局域共振带隙和第二阶的Bragg散射带隙，两阶带隙都随着k2的降低向低频移动且带隙宽度减小；随着k2开始减小，位于第三阶的局域共振带隙出现，带隙中心频率向低频移动且宽度增加；当k2减小到一定数值的时候，位于第三阶的局域共振带隙转化为Bragg散射带隙，位于第二阶的Bragg散射带隙转化为局域共振带隙，向低频移动且带隙宽度增加；当k2很小时，由图10(b)可以看到, 第一阶局域共振带隙宽度很窄，位于第二阶的局域共振带隙和第三阶的Bragg散射带隙对弹性波的衰减起主要作用。

另外在图10中同样可以看到，在这种两种情况下刚度发系数变化的过程当中，各自存在一个特定的刚度系数比值，对应一个带隙宽度几乎为第二阶带隙和第三阶带隙宽度之和的禁带频率范围，在这种情况下，第二阶和第三阶带隙之间仅有一个非常窄的通带存在。

(a) 垂直弹簧振子刚度系数对ΓX方向带隙的影响

(b) 水平弹簧振子刚度系数对ΓX方向带隙的影响

Fig.10 Effects of the stiffness of springs on the directional band gaps

3.3 单胞尺寸对结构带隙的影响

除了共振单元的属性，超材料板单胞尺寸的变化也会对Bragg散射带隙和局域共振带隙的上下界截止频率产生作用。

图11反映了在原来的材料参数和共振单元的性质都不发生改变的情况下，仅改变超材料板单胞尺寸对带隙产生的影响。由之前的分析可知，两阶完全带隙都是由局域共振的原因产生的，可以看到，随着晶格尺寸的增大，第二阶阶完全带隙明显降低，同样在子图里面也可以看到第一阶完全带隙的宽度也在减少。这是由于在晶格尺寸增加的同时，共振单元虽然没有发生变化，但是相对于整个单胞的填充率发生了变化，填充率相对减小，致使两阶局域共振带隙宽度减小。

图11 单胞尺寸变化对结构带隙的影响

图12是ΓX方向的带隙变化情况以及带隙内波的衰减情况。图12(a)子图中是第三阶方向带隙在1 kHz以下的变化范围。由图12(b)可知，前两阶局域共振带隙与完全带隙变化一致，最大的衰减范围也是在共振单元的固有频率附近处。对于Bragg带隙，随着晶格尺寸的增长，带隙向低频移动，符合Bragg带隙中心频率对应的弹性波波长与晶格常数的数量级相当的规律。同时还可以观察到，随着晶格尺寸的增加，Bragg带隙中波的衰减程度也在增大。

(a) 单胞尺寸变化对ΓX方向带隙结构的影响

(b) 单胞尺寸变化对ΓX方向带隙内波衰减的影响

Fig.12 Effects of the unit cell size on the width and wave attenuation of the directional band gaps

4 结 论

本文利用声子晶体概念，设计了一种新型的隔振结构，将具有负等效体积模量的超材料结构作为多频率局域共振单元，周期排列在板上形成具有多阶带隙超材料板结构来增大板的振动传递的损失。在多频率共振单元的局域共振特性与薄板中行波的共同作用下产生了两阶完全带隙和三阶ΓX方向带隙。利用平面波展开方法，分别得到了超材料板结构的频散关系和不同带隙范围内的衰减情况。利用有限元方法对有限个单胞组成的超材料板的振动传递损失进行了计算，多阶带隙的存在使得在多个禁带频率范围内可以达到弯曲波的有效衰减，与求得的带隙结构也十分吻合。除此之外，讨论了共振单元的几何形状以及固定弹簧振子质量的情况下垂直和水平弹簧振子固有频率或者说是刚度系数改变对带隙结构的影响。随着参数的改变，不同类型的完全带隙和方向带隙的宽度和性质也都发生了变化。同时，在分析时发现，无论是在改变共振单元的几何形状还是弹簧振子的刚度系数时，都各自存在着一个特殊大小的系数，使得ΓX方向存在一个宽度几乎为局域共振带隙和Bragg散射带隙宽度之和的带隙。保持共振单元属性不变，仅改变单胞的尺寸时，也会影响结构带隙的性质。通过观察超材料板参数的变化，我们发现结构带隙的宽度，弯曲波的衰减程度，引起带隙产生的机理都会发生改变，所以对于不同设计要求的超材料板结构，要注意选取合适的参数，同时这一参数化研究也为超材料板结构的优化设计提供了基础。

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