不等式恒成立问题的求解方法和误区

徐 健（湖南省永州市江华县第一中学，湖南 永州）

高中数学中的恒成立问题，考查了学生学习的综合解题能力，并培养和提升学生的创造性思维能力。而且近年来高考中的热点问题也涉及恒成立问题。在恒成立问题的解题中，一般需要用到函数的单调性、不等式、方程、函数最值的求法等知识，一般所用到的充要条件如下：定理：设函数f（x）的最大值是M，最小值是m.（1）不等式f（x）≥k恒成立的充要条件是m≥k；（2）不等式f（x）≤k恒成立的充要条件是M≤k。通过这个定理可把恒成立问题转化成求函数最值的问题。

一、反参为主的求解法

恒成立问题通常是变量的取值范围是已知的，求解出参数的取值范围。与此同时还有一些比较特殊的问题是参数的取值范围已知，要求解出变量的取值范围。实际上，这类题型是一般题型的相反问题，因而可进行换位思考，将参数变为主元，把问题转化为一次函数的恒成立问题，这样即可通过一次函数的图象解答出问题的答案。因此，若恒成立问题已有了参数范围，通常将参数看作是主元，将主元当作是已知数，具体也即是将原题看作是参数的函数，从而进行函数的解答。

例1：对于满足0≤p≤4的所有实数，求使不等式x2+px＞4x+p-3都成立的x的范围。对于这道题，可作如下分析：题目中已有了参数的范围，可将p看作是主元，得到一个有关字母p的一次函数。那么即可这样解题：整理不等式得出（x-1）p+x2-4x+3＞0。令f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，要使不等式f（p）＞0在0≤p≤4时恒成立，则只要不等式组成立，解得 x＞3或 x＜-1。

综上，对于部分含参不等式的恒成立问题，在进行参数分离的过程中，如果遇到一定的障碍，或者是在完成参数与变量的分离后但求最值遇到障碍时，可把变元和参数进行换位，然后通过与其他知识的融合渗透，从而解答出来。如，在以上的例题中把参数看作是主元，那么可引导学生在草稿纸上将一次函数的图象画出来，使一次函数在区间［0，4］恒大于0，观察图象要求必须满足不等式组f（0）=x2-4x+3＞0，f（4）=x2-1＞0。

二、数形结合的求解法

数的本质特征是形，而形的表述形式是数，通过数形结合的方式来解题，可以达到事半功倍的效果。但由于图形的呈现非常直观，所以依然还是要通过数来完成精确的计算。

例2：若关于x的不等式x2-logax＜0在区间恒成立，求解出实数a的取值范围。对于这道题，可引导学生作如下分析：因不等式的左边不仅有二次式，而且还有对数式，所以分离参数时很难找到其突破口，那么经过观察发现可将其转换成不等式x2＜logax在区间上恒成立。那么此时可设f（x）=x2，g（x）=logax，那么此时则仅仅使得f（x）和g（x）在区间（的图象上，并观察a是什么值时，f（x）的图象恒在g（x）的下方。这样即可容易得出：0＜a＜1，且在区间上时，g（x）为减函数，所以从而解答出

三、求导数分析法

通过导数分析法来对恒成立问题进行求解，需通过使用函数与导数的关系，探讨函数的单调性。所以，在解答恒成立问题时，通常需要将函数的导数先求出来，并对导函数的符号进行判断，这样才能确定函数在所给定区间的最值，并在指定区间上找到函数的变化趋势，结合函数值的这种变化趋势，再结合区间的端点值、函数的极值，对参数所满足的不等式或不等式组予以确定，然后求解的过程中采用数学转化思想。

例3：已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），如果曲线y=f（x）和曲线 y=g（x）都过点 P（0，2），同时在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.求a、b、c、d的值。对于这道题，首先应引导学生明白此题的解题思路是进行参数分离，接着通过导数采用导数求函数的区间最值。那么具体首先分离参数k，此时注意必须考虑极值点是否在定义域所在的区间上。

解：从题意已知，得f（0）=g（0）=2，f′（x）=g′（x）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），得出a=4，b=c=d=2。

综上所述，通过上文对不等式恒成立问题的几种求解方法的介绍，可以总结出这些解题思路及方法有着很强的知识综合性，要求学生必须思路保持灵活，而且意识到这些解题方法都可转化为函数求出最值进行解答，这实际上也充分体现了数学这门学科最本质的思想。