高中数学“一题多解”学习心得管窥

赵雨茜

（南京市第十三中学，江苏 南京）

“一题多解”指的是以题目为中心，借助所学习到的各种知识从多层面分析与思考各个数据关系，从而获得多种解题思路与方法。在高中数学学习中，“一题多解”是锻炼同学们发散思维能力的有效方式，也是提高数学学习效率的一种形式，可推动同学们数学应用能力的优化。我在日常的数学学习中深深体会到“一题多解”的应用可帮助我拓展解题思路，更好地把握各种类型数学题目的解题模式，是提高数学学习效率的有效措施。下面我将根据多种类型的数学知识，应用“一题多解”的思路完成解题任务，以期可对同学们发展发散性思维、增强数学知识应用能力提供参考。

一、在三角函数解题中应用“一题多解”的策略

例 1：求解 cos48°的值。

该例题的解题方法有两种，在高中数学实际的解题过程中，同学们可从多个层面与角度进行分析。具体如下：

解法1：求解cos48°的值。

解：cos48°=cos（30°+18°）

=cos30°cos18°-sin30°sin18°

下面只需求 cos18°、sin18°即可

∵sin36°=cos54°

∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°

∴2sin18°=4cos218°-3

∴2sin18°=4-4sin218°-3

4sin218°+2sin18°-1=0

解出 sin18°，即可求 cos18°

解法2：还可摒弃用基本定理进行解题的方法。在实际的题解过程中，我们可假设等腰△AMN的顶角是48°，剩余两角均是66°。此时，我们可以得知∠AMN的平分线与∠MAN的平分线相交于点D。从这里我们可以得知△AMN与△MND的关系为相似。因为MN、AD、MD三者相等，那么可以得出MN2=AM×MN。借助对正弦定理的英语可以得出 sin66°·sin48°=2cos248°，由此可解出题目答案。

从该题目的解题过程能够得知，在两种解题方法思路各有特点，在应用数学知识方面也有较大差异。借助对学生解题思路的科学延伸，可从多个层面与视角求解题目，熟练掌握各种解题思路之后，就可实现举一反三，以便找出更便捷的解题方法，有助于同学们解题能力的提升。

二、在解析几何解题中应用“一题多解”的策略

例2：求过直线N：2x+y+4=0与圆Z：x2+y2+2x-4y+1=0交点，并且经过原点的另一个圆M的方程式。

解法1：假设所求圆M的方程式是：y=x2+y2+Px+Qy+R=0，由于已知该圆经过原点，那么R=0，则圆M对应的方程式是：y=x2+y2+Px+Qy=0。在这种情况下，圆心对应的坐标是（），圆心的坐标L为（-1，2），经过圆Z与圆M交点对应的直线方程式应是：（P-2）x+（Q+4）y-1=0，这一直线方程式应该就是直线 N：2x+y+4=0，所以可以得出因此可以计算出最终推导出圆M对应的方程是：

解法2：根据题目中已知条件，可以计算出直线N和圆M的两个交点交点E、F的坐标，将具体的坐标带入直线N与圆M联立的式子中，将y消去可以得出：5x2+26x+33=0，其中E对应的坐标是（-3，2），F对应的坐标是（）。假设所求圆M的方程式是：y=x2+y2+Px+Qy+R=0，由于已知该圆经过原点，那么R=0，则圆M对应的方程式是：y=x2+y2+Px+Qy=0。把E、F坐标具体数值带入圆M的方程式中可以计算出：2Q-3P+13=0；10Q-55P+125=0。最后计算出。那么圆M对应的方程式是y=x2+y2+

从例3的两种解题方法同学们可以看出，运用不同的数学思想，就会获得不同的解题思路与解题线索。因此，同学们在解答高中数学几何题的过程中，应精准把握题目中的数量关系，并借助一定的数学思想理出解题思路，从而使得较为复杂的题目可迎刃而解。

总之，高中数学具有较强的逻辑性，各个章节甚至多个章节的知识点之间都存在密切联系，只有做到融会贯通才能使得同学们在遇到难题时柳暗花明，才能获得多种解题方法，以便推动自身发散思维能力及学以致用能力的显著提高。