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挖掘问题潜能,提高解题能力

2018-02-14王永明

数学学习与研究 2018年24期
关键词:解题能力问题

王永明

【摘要】 从教材问题入手,通过增删条件、变换结论、逆向思维等手段对问题进行一系列的变式,不断挖掘其潜能,在锻炼学生思维的灵活性、开放性和创造性的同时使学生体会到问题与问题的区别与联系,从而发现解题规律,掌握解题的技巧.

【关键词】 问题;变式方式;解题能力

在数学教学中,教师应认真钻研典型问题,挖掘其潜能,通过问题的变式,增强问题的辐射功能,真正做到举一反三,触类旁通,从而提高学生解题能力.

一、问题来源

当k取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0对一切实数x都成立?(高中数学必修5第103页A组第3题)

解  原题等价于二次函数y=2kx2+kx- 3 8 的图像恒在x轴下方,则 2k<0,Δ=k2+3k<0,  解得-3<k<0,

∴当-3<k<0时,一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0对一切实数都成立.

二、问题变式

(一)变式1:删减条件

不等式2kx2+kx- 3 8 <0对x∈ R 恒成立,求k的取值范围.

解  当k=0时,原不等式可化为- 3 8 <0,恒成立,

∴k=0满足题意.

当k≠0时,原不等式为一元二次不等式,即原问题,故有-3<k<0.

综上:k的取值范围为(-3,0].

评注:条件由“一元二次不等式”弱化为“不等式”,故需对二次项系数k加以分类讨论.

(二)变式2:增设条件

一元二次不等式2kx2+kx- 3 8 <0对满足-2≤x≤2的所有x都成立,求k的取值范围.

解  (1)当k>0时,二次函数f(x)=2kx2+kx- 3 8 的图像开口向上,且对称轴x=- 1 4 ∈[-2,2],由图1可知: f(-2)<0,f(2)<0 k< 3 80 , ∴0<k< 3 80 .

(2)当k<0时,二次函数f(x)=2kx2+kx- 3 8 的图像开口向下,且对称轴x=- 1 4 ∈[-2,2],由图2可知: f - 1 4  < 0k>-3,∴-3<k<0.

综上:k的取值范围为(-3,0)∪ 0, 3 80  .

评注:条件由“对一切实数x都成立”强化为“对满足 -2≤ x≤2的所有x都成立”,借助二次函数的最值加以讨论.

(三)变式3:变换结论

函数y=log 2 2kx2+kx- 3 8  的值域为 R ,求k的取值范围.

解  要使函数y=log 2 2kx2+kx- 3 8  的值域为 R ,则真数2kx2+kx- 3 8 必须取遍一切正数,

令f(x)=2kx2+kx- 3 8 ,由图3可知: 2k>0,Δ=k2+3k≥0  k>0,∴k的取值范围为(0,+∞).

评注:变换结论,让学生明确问题之间的内在联系,体现了数学解题中常用的化归思想.

(四)变式4:逆向思维

不等式2kx2+kx- 3 8 <0对满足-2≤k≤2的所有k都成立,求x的取值范围.

解  原不等式变形为(2x2+x)k- 3 8 <0.

令g(k)=(2x2+x)k- 3 8 ,则g(k)<0对满足-2≤ k≤ 2的所有k都成立.

(1)当2x2+x=0,即x=0或x=- 1 2 时,原不等式可化为- 3 8 <0,恒成立,∴x=0或x=- 1 2 满足题意.

(2)当2x2+x≠0,即x≠0且x≠- 1 2 时,g(k)为k的一次函数,由图4可知: g(-2)=-4x2-2x- 3 8 <0,g(2)=4x2+2x- 3 8 <0-2- 10  8 <x< -2+ 10  8 ,

∴ -2- 10  8 <x< -2+ 10  8 ,且x≠0且x≠- 1 2 .

综上:x的取值范围为  -2- 10  8 , -2+ 10  8  和x=0或x=- 1 2 .

評注:问题的条件与结论相互变换,通过逆向思维,使用变更主元的方法,将原题转化为函数g(k)的问题,简化解题过程.

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