APOS理论视角下的概念教学

吴一枝

【摘要】 APOS理论是美国的杜宾斯基等人创建的，在杜宾斯基等人的研究中，APOS理论已经被运用于多个数学领域.其中包括函数、抽象代数、离散数学、微积分、统计及初等数论等，其运用领域绝大多数都是高等数学内容.在小学教育阶段也涉及概念教学，笔者结合“平行四边形的初步认识”的教学片段，以APOS的视角分析本课，尝试将APOS理论与小学阶段概念课相结合，探索适合小学教育阶段概念课的模式.

【关键词】 APOS理论;概念教学;概念课模式

杜宾斯基等人认为学生数学概念是要进行心理建构的，此建构过程要经历四个阶段.以“平行四边形的初步认识”一课为例，Action（操作或活动阶段）——认识平行四边首先需要让学生从现实中找寻平行四边形的实物，再让学生进行亲身操作;Process（过程阶段）——运用分析、比较、综合等方法帮助学生抽象出“平行四边形”;Object（对象阶段）——将平行四边形的概念细致化，进行更高层次的操作;Scheme（概型阶段）——此时“平行四边形”的概念已经存在于学生的脑海中.按照杜宾斯基的理论为概念教学提供了理论支持，以下就结合该理论具体分析“平行四边形的初步认识”的教学过程.

一、操作阶段是指学生通过一步一步地指令去变换一个客观的数学对象.学生需要亲自投入，通过实际经验来获得知识，这里也包括学生的思维活动.大部分数学概念的形成都会经历反省抽象，而反省的基础就是操作活动.

拼三角板，拼出平行四边形.

师：现在你能用两块完全一样的三角尺拼出这样的四边形吗？拿出三角板，拼一拼.（指名学生到黑板上拼一拼）

师：还有不同的拼法吗？（鼓励不同拼法，指名在黑板上拼一拼）

师：大家都拼出了刚才生活里见到的那种四边形，像这样的四边形是平行四边形.（板书：平行四边形）

学生齐读：平行四边形.

学生在用三角板拼一拼的过程中，仿造生活中寻找的平行四边形的样子拼出自己的平行四边形，进一步加深平行四边形在学生头脑中的具体形象.

二、过程阶段是对操作过程的思考，对操作过程进行思维的内化和压缩，抽象出概念所有的特质.教师在之前的环节中已经帮助学生多次、重复地感知平行四边形的表象，接着教师设计了画一画，帮助学生抽象出平行四边形的概念.

师：现在，老师想画出一个平行四边形.你觉得平行四边形这四条边要怎样画才对？（学生交流想法）

生1：画的时候要有两条边是斜的

生2：斜的方向要一样，另两条边的方向也要一样.

师：同学想法真不错！看老师画一个平行四边形，上下两条边方向要完全一样（画一组对边），左右两条边方向 也完全一样（画另一组对边）.这个图形就是——平行四边形.

师：找一找，刚才分类好的四边形里哪个是平行四边形？

师：从这里可以看出，平行四边形属于四边形，是一种特殊的四边形.

画一画之前，教师引导学生说一说如何画出平行四边形，在学生讨论的过程中，学生已经在头脑中回忆之前的操作过程，抽象出“平行四边形两条边是斜斜的”“斜的方向要一样”的概念特质，教师用这一环节将学生在操作中形成的感性感知抽象了出来.

三、当学生意识到可以将过程看成一个整体，并且进行变形和操作时，过程中的一切就转化为更精致的“对象”，这个阶段就是对象阶段.在学生初步抽象出平行四边形后，教师引导学生辨一辨、围一围、描一描等活动，进一步深化、细致平行四边形这一概念.

为了让学生进一步将平行四边形的概念内化，教师设计了丰富练习，引导学生进行更高层次的操作，使“平行四边形”的概念转化成“静态结构”，帮助学生更全面、更整体地把握概念.

四、图式阶段是指学生对活动、过程、对象以及原有的相关方面的图式进行相应的整合，产生新的图式结构.这时课程已过大半，平行四边形的概念经过细致后在学生脑中逐渐稳定下来，从而可以运用于解决相应的实际问题.

摆一摆，用小棒摆出平行四边形：

师：你能用6根同样长的小棒摆出平行四边形吗？你是怎么摆的？用8根同样长的小棒能摆出平行四边形吗？试一试.（展示学生不同的摆法）

师：想想上下两条邊、左右两条边用的小棒根数有什么要求？

生：相对两条边的小棒根数要同样多.

师：是不是这样呢？如果去掉一根小棒，重新围一围，它还是平行四边形吗？

师：看来同学们说得很有道理，上下，左右两条边的小棒确实需要同样多.

2.拉一拉，拉出一个平行四边形

师：同学们请看，这是一个？（长方形）拿出长方形框，拉一拉，你有什么发现？

师：眼睛不要眨啊，老师要变了，仔细看.一拉，还是长方形吗？那是什么呢？再拉，现在呢？再拉，现在呢？

师：接着来，换个方向，往这边拉.是什么？再拉，现在呢？再拉，现在呢？

师：一个长方形，不管怎样拉，虽然形状、大小会发生变化，但它始络都是平行四边形.

师：刚才在顾老师拉的过程中，只要轻轻一拉就会出现一个新的平行四边形.说明，平行四边形容易变形.

通过摆一摆，学生将形成平行四边形的概念运用于本题，题目比较之前的练习明显更加高一层次，学生能够灵活运用所学概念解决实际问题，说明图式阶段形成.最后教师不忘向学生渗透长方形和平行四边形的关系，又为以后新概念的学习做好铺垫.

从“平行四边形的初步认识”的分析来看，APOS理论对小学阶段的概念教学具有一定的借鉴和指导作用，以后在概念教学中，笔者将结合该理论不断探索和反思，以促进概念教学结构的完善与优化.