一道平几题的多解剖析

☉江苏省高邮市第一中学 沈红梅

【例题】（石家庄市2018届高中毕业班教学质量检测（一）·16）如图1所示，平面四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB=1，BC=2 ，AC=CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为______.

图1

解题思路：（1）建立不同三角形内的边角关系，得到相应的解析式来求解最值；（2）将整个平面图形放在平面直角坐标系中，通过坐标建立关系式；（3）将所要求解的边长转化为边AC的函数关系，结合函数思想来确定相应的最值问题；（4）通过垂直作辅助线，利用三角形相似建立关系式来处理；（5）以静制动，将不在一起的条件创新性地放在一起来处理；（6）将四边形的对角线与四条边通过托勒密不等式建立关系来处理.下面我们具体讨论这六种解法.

思路方向1：解三角形思维是此类问题中最常见的解题方法，也是考虑问题中最易想到的基本方法.设出相应的角，通过三角形的转化，利用不同三角形间的边角关系，再利用正弦定理和余弦定理来转化与处理，结合三角恒等变换，通过三角函数的图像与性质来确定相应的最值问题.本解法的关键是转化与化归，运算时要有耐心，认真细致.

解法1（解三角形法）：设∠ABC=α，∠ACB=β，

则当α=135°时，BD2有最大值9，BD取得最大值为3.故填3.

思路方向2：涉及平面几何比较难处理时，经常可以考查建系，通过平面直角坐标系的建立，结合解析几何来转化，也是解决此类问题中比较常见的方法之一.巧妙建立平面直角坐标系，把点A放在单位圆上，引入三角参数，结合平面向量的坐标运算以及模的运算，结合三角恒等变换，通过三角函数的图像与性质来确定相应的最值问题.本解法巧在建系，以运算代说明.

解法2（建系法）：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xBy，则C（，0），设∠ABC=α，则A（cosα，sinα），

思路方向3：涉及平面几何比较难处理时，经常可以转化为函数，利用函数与方程的关系来处理，这也是解决此类问题中比较常见的方法之一.设AC=CD=x，结合余弦定理求解cos∠ACB的值，通过同角三角函数基本关系式可得sin∠ACB的值，把BD2表示成参数x的关系式，结合函数与方程的思维，利用判别式确定对应的取值范围，进而确定BD的取值范围即可.本解法在得到BD2=2+后，由于判断函数的最值问题的处理方法多样，所以可以利用函数与方程法处理，也可以结合导数法来处理，还可以通过三角换元思维来处理等.

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在△ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·

则当α=135°时，|B—→D|2有最大值9，BD取得最大值为3.故填3.BC·cos∠ACB，即1=x2+2-2xcos∠ACB，解得cos∠ACB=，结合同角三角函数基本关系式可得sin∠ACB=

在△BCD中，由余弦定理可得

思路方向4：通过过点A、D作BC边上的垂线，把斜三角形问题转化为直角三角形问题，利用直角三角形中的边角关系以及勾股定理来转化，结合三角恒等变换，通过三角函数的图像与性质来确定相应的最值问题.辅助线法在实战中应用广泛，往往可以起到出其不意的效果.

解法4（辅助线法）：设∠ABC=α，如图2，作AE⊥BC，DF⊥BC，

图2

由AC=CD，AC⊥CD，可得Rt△ACE≌Rt△CDF，

所以DF=CE=EB+BC

CF=AE=sin（180°-α）=sinα，

则BD2=BF2+DF2

=5+4sin（α-45°），

因此当α=135°时，BD2有最大值9，BD取得最大值为3，故填3.

思路方向5：通过将△ABC绕点C顺时针旋转90°，先结合旋转后对应的边角关系，再利用平面几何的相关知识求解对应的边长问题，最后结合图形，以动制静来处理相应的最值问题.本解法思维巧妙，借助初中平面几何的相关知识来解决高中问题，回归本源.有时采用初中平面几何的知识来解决一些高中的相应数学问题，可以使得问题解决起来更流畅、快捷.

解法5（平几法）：如图3，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，

图3

因为AC=CD，AC⊥CD，则旋转过后点A与点D重合，记点B旋转至点B′，

则B′D=1，即点D在以点B′为圆心，半径为1的圆周上，

结合图形可得BD≤BB′+B′D=2+1=3，当且仅当B，B′，D三点共线且点B′在线段BD上时等号成立，故填3.

思路方向6：（托勒密不等式法）本解法涉及凸四边形的对边、对角线等的关系问题，考虑利用特殊的几何定理：托勒密不等式（凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，当且仅当四点共圆或共线时等号成立）来处理.处理巧妙，过程简单快捷.本解法涉及的托勒密不等式不属于课本知识，所以学生不易掌握，只是作为一个课外的拓展解法来处理.

解法6：设AC=CD=a，

由托勒密不等式（凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，当且仅当四点共圆或共线时等号成立）可得AD·BC+AB·CD≥AC·BD，

通过从多个不同角度来处理，巧妙地把该题的底蕴充分挖掘出来，多角度出发，多方面求解，真正实现对数学知识的融会贯通，充分展现知识的交汇与综合，达到提升能力、拓展应用的目的，进而真正达到在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技能的目的.正如我国著名数学家苏步青先生说过：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”J