浅谈数形结合思想在高中数学解题中的应用
2018-02-03张飞飞
张飞飞
【摘要】伟大的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见数形结合的重要性.本文从以数化形、以形变数和形数互变三个方面探讨了数形结合在数学解题中的应用.通过对数形結合中三大类型的具体例题分析，将复杂问题简单化，抽象问题具体化，可体会到使用数形结合方法解题更加简单快捷.
【关键词】高中数学；数量关系；数形结合
数学是研究现实生活数与形的数学，在我们的生活中充当着不可或缺的角色.而“数”与“形”是研究数学的基本，“数”与“形”的结合不仅仅是一种重要的解题方法，更是数学中的一种思想方法.一方面，可以借助图形的特点、性质将很多抽象的数学概念及数量关系形象化、简易化，给人直觉的启发；另一方面，要获得精确的结论，可以将图形问题转化为代数问题，这种“数”和“形”的相互转化，不仅可以使一些题目的解法简洁明了，因此，在解题中应当完整地理解.与数形结合有关联的内容，善于应用数形结合来处理教材和例题.接下来我将阐述数形结合的三种方法以及这三种方法在解题中的应用技巧.
一、数形结合的方法
（一）以数化形
数题形解，借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想.
（二）以形变数
形题数解，借助数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，把形转化为数，即以数作为手段，形作为目的的解决数学问题的数学思想.
（三）形数互变
数形结合，不仅要想到“形”的直观变为“数”的严密，还要想到由“数”的严密性联系到“形”的直观.
二、数形结合的应用
（一）以数化形的应用
1.图形法
例1 某校高一5班有学生45人，每人在暑假里都参加了体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加有多少人？
图1
解 设A，B，C分别表示参加足球、排球、和游泳的人数，card（）表示集合元素的个数，则：
card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C）=45，
代入得，25+22+24-12-9-8+card（A∩B∩C）=45.
解得card（A∩B∩C）=3，即三项都参加的有3人.
容斥问题在数学中较为常见，一般很难发现条件之间存在的联系，但只要学会画图，利用数形结合把抽象的数字转化为直观的图像，那么这类问题并非难以掌握.
2.图像法
例2 （2016·高考山东卷）已知函数f（x）=|x|，x≤m，x2-2mx+4m，x>m， 其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是多少？
解 当m>0时，函数f（x）=|x|，x≤m，x2-2mx+4m，x>m 的图像如图2，当x>m时，f（x）=x2-2mx+4m=（x-m）2+4m-m2>4m-m2，
所以要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须满足4m-m2
图2
借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法，函数图像的几何特殊与数量特征紧密结合，体会了数形结合的特征与方法.讨论方程的解的个数是高考考点之一，利用数形结合可以简化思考过程，解决这类问题应注意两点：
（1）讨论方程的解，一般可构造两个函数，使两问题转化为讨论双曲线的交点问题，但用此方法讨论方程的解一定要注意图像的准确性和全面性.
（2）正确做出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.
（二）以形变数的应用
1.代数法
例3 在四面体S-ABC中，∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，SA=a，SB=b，SC=c，高SO=h.证明：1a2+1b2+1c2=1h2.
分析 因为SA，SB，SC已知，所以AB，AC，BC的长度，△ABC的面积S、体积V都可以通过a，b，c来表示，那么就可以验证结论是否成立，剩下的就是计算的解题技巧.
图3
证明 设△ABC边上的高为AD，BD=x，则
CD=BC-x=b2+c2-x，
AD2=AC2-CD2=a2+c2-（-x）2，
AD2=AB2-BD2=a2+b2-x2.
即得x=b2b2+c2.
∴AD2=a2+b2-x2=a2+b2-b4b2+c2=a2b2+a2c2+b2c2b2+c2.
∴S△ABC=12a2b2+b2c2+c2a2，
V=h6a2b2+b2c2+c2a2.
另一方面，V=16abc.从而h=abca2b2+b2c2+c2a2.
如果解答一个几何问题，用几何方法的话较难解决，但是它的条件和结论都很容易用代数中的式子来表现出来，那么就可以把解决这个问题的过程转为代数中的演算来完成.
2.三角法
图4
例4 （2016·高考四川卷）已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是多少？
解 我们以A为原点建立直角坐标系，B，C两点的坐标为B（3，-3），C（3，3）.由|AP|=1，可设P点的坐标为（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，2π）.而PM=MC，即M是PC的中点，可得M点的坐标为
M3+cosθ2，3+sinθ2.则
|BM|2=3-cosθ22+33+sinθ22=37+12sinθ-π64≤37+124=494.即当θ=23π时，|BM|2取得最大值494.
在几何解题中，有些不能简单地用代数中的式子表现出来，对于此类型的题目，若能借助三角函数把这些几何关系依据图形的性质写出式子，这样就容易把图形转为对式子的运算以及讨论.
（三）形數互变的应用
例5 （2017·合肥市一模）过双曲线x2a2-y2b2=1（b>a>0）的左焦点F（-c，0）（c>0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，Q为坐标原点.若OE=12（OF+OP），则双曲线的离心率为.
图5
解 如图5所示，设双曲线的右焦点为F′（c，0），因为抛物线的方程为y2=4cx，则F′为抛物线的焦点.由于OE=12（OF+OP），所以E为PF的中点，|PF|=2b.又因为O为FF′的中点，则OE是△FF′P的中位线.因PF⊥OE且|OE|=a，则PF′⊥FP且|PF′|=2a.设P（x，y），由抛物线定义有|PF′|=x+c=2a，
则|PF|2=|FF′|2-|PF′|2=4c2-4a2.另一方面，|PF|=（x+c，y），则
|PF|2=（x+c）2+y2=4a2+4c（2a-c），所以4c2-4a2=4a2+4c（2a-c），整理得c2-ac-a2=0，即e2-e-1=0，解得e=5+12或e=1-52（舍）.
解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变.一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”，实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”.
数形结合作为一种重要的思想方法，它不仅是数学的基础知识，还是知识的精髓，更是将知识转化为能力的桥梁.因此，我们要注重方法的领悟、概括和总结，要重视数学思想在解解题中的应用.
【参考文献】
[2]徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用[J].宁波教育学院学报，2009（1）：115-116.
[6]柯爱超.“数形结合”创高效[J].内蒙古教育，2013（8）：34.endprint
