巧借恒等式处理一类直线过定点问题

张翼飞

[摘 要] 文章介绍一种借助代数恒等式处理直线过定点的方法.？摇

[关键词] 恒等式；斜率比；定点

圆锥曲线中有很多优美的性质，本文从代数恒等式的角度处理椭圆中一类斜率比值为定值引出的直线过定点问题，希望通过本文和大家分享用代数方法解决几何问题的美感.

结论：已知椭圆Γ：+=1（a>b>0）和定点A（x0，y0），B（-x0，-y0），点P，Q是椭圆Γ上的动点，且满足kPA=mkQB（m≠ -1），求证：直线PQ过定点.

证明：法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线PQ：（y2-y1）x-（x2-x1）y-（x1y2-x2y1）=0.

因为kPA=mkQB（m≠-1），所以=m.

因为==-，所以=m.

由=m可得mx1y2-x2y1=mx0y2+x0y1-my0x1-y0x2+（m-1）x0y0.

由=m可得mx2y1-x1y2=mx0y1+x0y2-my0x2-y0x1+（m-1）x0y0，

两式相减可得（m+1）（x1y2-x2y1）=（m-1）x0（y2-y1）+（m-1）y0（x2-x1），

x1y2-x2y1=x0（y2-y1）+y0（x2-x1），

PQ：（y2-y1）x-（x2-x1）y-x0（y2-y1）-y0（x2-x1）=0，

故直线PQ过定点x0，-y0.

法2：设A（acosα，bsinα），P（acosβ，bsinβ），Q（acosγ，bsinγ），则B（acos（α+π），bsin（α+π）），

kPA==-·，

kQB=-·=·.

因为kPA=mkQB（m≠-1），所以cos·cos+msinsin=0，

所以cos+cos+α+mcos-cos+α=0，

所以cos=cos+α，即cos=coscosα-·sinsinα，

直線PQ：b（sinγ-sinβ）x-a（cosγ-cosβ）y-absin（γ-β）=0，

即bcosx+asiny-abcos=0.

直线PQ：bcosx+asiny-abcoscosα+absin·sinα=0，

即PQ：bcosx-acosα+asiny+bsinα=0，

故直线PQ过定点x0，-y0.endprint