活用构造思维，巧解数学难题

刘小树

[摘 要] 构造法是一种打破常规思维的数学方法，在高考中占有重要地位.文章从一道不等式证明题引入，通过构造数列的方法巧妙地解决问题，接着对构造法展开深入思考，研究了构造方程和函数在高中数学中的应用.

[关键词] 构造；数列；方程；函数

构造思想在高中数学中的重要性不言而喻，构造思想是各种知识之间相互联系的纽带，通过构造，可以使得复杂的问题简单化，起到事半功倍的效果. 掌握构造法还能够增强学生思维的灵活性以及开拓性，所以对于构造法的研究非常有必要.

构造数列，引出论点

（2017年蚌埠市高考模拟题） 证明不等式++…+>1（n∈N*）.

思路剖析

构造数列：an=++…+，那么an+1-an=++-=+-=>0，所以数列{an}是递增数列，又a1=++=>1，所以an>1（n∈N*），所以原不等式得证.

题后反思

本题中采用构造数列的方法巧妙地解决了不等式证明问题，通过新构造出的数列，巧妙地判断出该数列是递增数列，从而证明不等式.通过构造数列不仅仅可以解决不等式证明问题，对于一些难以解决的解方程问题，通过构造数列可以事半功倍地解决问题，提高解题效率.

思维拓展：（2016年沧州市高考模拟题）解方程-=3x+2.

思路剖析

本题可以采用构造法，根据已知条件，再结合等差数列的性质，可以发现，，-构成一个等差数列，可以设=-d，-=+d，观察以上两式，将两式平方之后相减得：-2（3x+2）= -2（3x+2）d，解出d=1或x=-. 当d=1时，代入=-d，解得x=是方程的增根，故舍去；当x= -时，检验之后符合题意，所以原方程的根为x=-.

反思小结，承前启后

从以上两道题可以发现，构造数列的方法对于解决某些不等式证明，以及解方程问题可以起到事半功倍的效果，对于发散学生的数学思维大有裨益. 构造数列仅仅是构造法中的一个小的分支，但是其中体现的数学思想都是一脉相承的. 构造法的核心是打破常规的解题思路，将看似复杂的问题简单化、具体化，将高中数学中所学的知识有机地串联起来，利用“他山之石”，攻破数学难题. 本文接下来就着重讨论通过构造方程、构造函数来解决问题，让学生能够从具体题目中领略构造之美，感受数学之美.

构造方程，化繁为简

作为高考中的热点内容，圆锥曲线问题一直以来都因其烦琐的计算成为学生学习路上的拦路虎. 因此，优化圆锥曲线问题中的解题过程，减小计算过程中运算量显得至关重要. 而通过构造方程的方法，能够充分挖掘题目中的条件，合理利用问题结构特征，就可以省去繁杂的计算过程，大大减小计算量，提高解题效率，做到化繁为简.

（2016江西省高考模拟题） 已知椭圆的轨迹方程为x2+y2=1，已知椭圆外一点（0，2），过该点引任意直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求A，B中点P的轨迹方程.

问题剖析

可将A，B的坐标分别设为A（x1，y1），B（x2，y2），将A，B中点P的坐标设为（x，y）. 因为A，B都是椭圆上的点，所以可得方程组x+y=0，①x+y=0，②

②-①得，（x2-x1）（x2+x1）+（y2-y1）·（y2+y1）=0，根据中点公式上式可化简为

x（x2-x1）+2y（y2-y1）=0，所以= -，而即为过A，B两点的直线斜率.又因为该直线经过椭圆外一点（0，2），通过该点和P点，直线的斜率还可以表示为，所以能够得到等式= -，化简之后可以得到x2+2y2-4y=0，所以A，B中点P的轨迹方程为x2+2y2-4y=0.

构造函数，化难为易

函数问题是高中数学中的重中之重，对于许多数学问题，直接求解会有很大的难度，若能根据已知条件，构造出辅助函数，再借助函数的性质来解决问题会让问题简单化，而且这种方法思路清晰，是一种不可多得的好方法，如果能够熟练掌握这种方法，许多难题将会迎刃而解.

（2017年北京市高考模拟题） 已知函数f（x）=ln.

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）>2x+.

思路剖析

对于第（1）问，由于篇幅有限，并且对构造函数没有涉及，与本文相关度不大，在此直接给出答案，切線方程为y=2x. 对于第（2）问，采用构造函数的方法，令F（x）=f（x）-2x+=ln-2x+，x∈（0，1），对新构造的函数进行求导，得F′（x）=-2（1+x2）=. 当x∈（0，1）时，F′（x）恒大于0，所以F（x）在（0，1）上是单调增函数，所以F（x）>F（0）=0，即f（x）-2x+>0，所以当x∈（0，1）时，f（x）>2x+.

写在最后

古语有云：“他山之石，可以攻玉”.高中数学中所学到的数列、方程、函数知识都可以称为“他山之石”，而构造恰恰就是将这些知识与那些数学难题联系起来的纽带，构造法以高中数学的相关知识为背景，结合题目中的相关条件来解决问题. 若能合理地运用构造法，对于提高解题效率，破解数学难题都能起到很大的帮助. 而更重要的是，构造思想的灵活性以及发散性对于锻炼学生的数学思维大有裨益，在高考复习过程中，需要学生细心体会，勤于训练，才能更好地领悟构造思想.endprint