一道课本题的探究

2018-01-29孙其天

数学教学通讯·高中版 2017年12期

孙其天

[摘要] 文章从课本中的一道已知数列递推公式求数列通项公式的试题出发，对其进行三次探究，得出类似问题的常规解法. 把握教材的例题与习题，注重对这些

题目：已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），对于这个数列的递推公式做一研究，能否写出它的通项公式？（人教A版数学《必修5》第二章数列复习参考题B组第6题）

探究一已知递推公式a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan（其中p≠0，q≠0），求通项公式，此题采用构造法，转化为新的等差或等比数列.

若p+q=1时，有an+1-an=-q（an-an-1），所以an+1-an=（a2-a1）（-q）n-1，然后用累加法求解.若p+q≠1时，可先把原递推公式转化为an+2-san+1=t（an+1-san），其中s，t满足s+t=p，st=-q，再用累积法求解. 注意s，t实质是二次方程x2-px-q=0的两个实根，方程x2-px-q=0是an+2=pan+1+qan的特征方程，如果特征方程无根时，则需考虑数列的周期性.

解析：由an=2an-1+3an-2可转化为an-san-1=t（an-1-san-2）

即an=（s+t）an-1-tsan-2，所以s+t=2，st=-3，解得s=-1，t=3，或s=3，t=-1.

得an+an-1=3（an-1+an-2）以及an-3an-1= -（an-1-3an-2），

所以an+an-1=3n-2（a2+a1）=7·3n-2，an-3an-1=（-1）n-2（a2-3a1）=13·（-1）n-1.

由以上兩式得4an=7·3n-1+13·（-1）n-1（n≥3）.

显然a1，a2满足上式.

所以数列的通项公式是an=[7·3n-1+13·（-1）n-1].

评注：教材给出了数列的相邻三项的递推关系式，求解的突破口是分解中间项，构造等比数列. 把握教材的例题与习题，注重对这些例题的深入挖掘，深入思考，不论高考数列递推题的构思多么新颖，我们都可以不变应万变.

探究二问题中将递推公式an=2an-1+3an-2两边同时除以an-2，可得=2+3，进一步变形得·=2·+3. 令bn=，则bn·bn-1=2bn-1+3，两边同除以bn-1得bn=2+. 对于递推公式b1=b，bn+1=p+（其中p≠0，r≠0）求通项公式采用构造法，转化为新的等差或等比数列.

若p2+4r=0时，存在非零常数-，使得数列是首项为=，公差为的等差数列；若p2+4r>0时，存在非零常数x，y，满足x+y=-p，xy=-r，使得数列是首项为，公比为q=的等比数列.实际上递推公式bn+1=p+可写成bn+1·bn-pbn-r=0，-p，-r可以看作是二次方程x2-px-r=0的一次项系数和常数项，而p2+4r正好看作是判别式，因此总结为当Δ=p2+4r=0时，可构造等差数列求通项公式；当Δ=p2+4r>0时，可构造等比数列求通项公式；当Δ=p2+4r<0时，则需考虑数列的周期性.

例1 已知数列{an}中，a1=1，an+1= -3-，求数列{an}的通项公式. （人教A版数学《必修5》习题2.1A组第4题第2小题变形）

解析：p2+4r=1>0，令x+y=3，xy=2，解得x=2，y=1或x=1，y=2，不妨取x=2，y=1.

则数列是首项为=，公比为q==2的等比数列，因此=·2n-1，即an=.

评注：人教A版数学《必修5》习题2.1A组第4题第2小题使得p2+4r<0，则该数列是以3为周期的周期数列.

探究三已知递推公式a1=a，a2=b，an+2=pan+1+qan（p2+4q>0），求通项公式.

设an+2+λan+1=（p+λ）（an+1+λan），

所以an+2=pan+1+（p+λ）λan，

把an+2=pan+1+（p+λ）λan与an+2=pan+1+qan比较可得（p+λ）λ=q，

即λ2+pλ-q=0.

所以方程λ2+pλ-q=0有两个不同的根，

分别为λ1=，λ=.

由an+2=pan+1+qan可得an=pan-1+qan-2（n≥3），