优化习题设计，提升练习效率

承小华

[摘 要] 高中数学教学中，优秀的习题能够有效促进学生的自主学习，能够让学生在练习中习得数学思想. 为此，教师要善于整合教材的习题资源，增强习题的开放性，启发学生自主设计习题，倡导一题多解，通过以上手段能够有效提升学生的练习效率.

[关键词] 高中数学；习题设计；效率提升

习题练习一直是学生巩固所学、提升能力的重要途径，为了让习题练习发挥其应有的效果，数学教师务必要注意优化习题设计，对此笔者有以下几点思考.

整合教材习题，增强习题的实效性

教材中的习题都是教材编写专家再三酝酿，精心选材，几易其稿，最终确定的习题，因此教材习题有着明显的典型性、示范性以及针对性. 就高中数学教师而言，我们要善于从功能特点、结构特点以及语言组织等角度入手深入剖析教材习题的设计，发掘其隐含价值，为我们在教学中整合习题资源、优化习题设计奠定基础.

整合习题资源的常用手段包括对教材中的典型问题进行精心筛选，并对其提问角度和方式进行适当地调整，由此让陈题带上新意，让旧题换上新貌，进而让我们在教学过程中能够借助教材习题进行充分的拓展，让学生在问题的分析和解决的过程中，加深对数学知识本质化的认识，并强化数学知识之间的联系，学生还将在相关问题的分析和处理中对数学思想进行领悟和掌握，这些都将进一步提升教材习题的使用价值.

教师在对习题进行调整和优化时，要善于对习题进行纵向地深入和横向地拓展，以便让习题发挥更大的作用. 通过对习题进行变式处理，教师可以向学生揭示方法与知识之间的内在关联，从而在学生的“最近发展区”引起认知冲突，并由此建立起新的认知体系.

在“圆锥曲线”这一部分的教学过程中，为了帮助学生能够更好地掌握和理解椭圆的标准方程，教师可以对教材上的习题进行适当地拓展，设计以下一组问题.

（1）已知某椭圆的焦点位于x轴上，且a=4，b=6，求椭圆的标准方程；

（2）已知x轴上存在两个点分别是点F1（-4，0）和点F2（4，0），求满足条件MF1+MF2=10的动点M的轨迹方程；

（3）求满足以下条件+=10的动点M（x，y）的轨迹方程；

（4）已知一个椭圆的方程为+=1，现有一椭圆与其有着相同的焦点，且椭圆的一条准线方程为x=，请写出椭圆的标准方程.

增强习题的开放性，拓展学生研究的视野

以往我们的习题练习侧重于传统的封闭性习题，这样的习题在一定程度上束缚了学生能力的发展. 因此我们倡导增强习题的开放性，以此来拓展学生研究的视野，提升学生思维训练的灵活性. 所谓习题的“开放性”就是指题目的条件不够完备、比较混杂，或是结论不够明确，或是问题解决的策略不够单一，概括起来带有开放性的习题往往可以分为条件开放型习题、结论开放型习题、策略开发型习题等多种形式.

例如在函数学习的过程中，为了强化学生对定义域的理解，澄清他们的某些误解，教师可以设计以下一系列条件开放型问题以帮助学生进行强化，学生还可以在此基础上进一步了解一般的二次函数在对应区间上最值问题进行分类讨论的处理方法.

问题情境：现有一个函数f（x）=x2-4x+5，其定义域为A，则函数f（x）一定具有最小值或最大值吗？

（1）当定义域A=（-1，1）时（不存在最小值，也不存在最大值）；

（2）当定义域A=（-1，+∞）时（存在最小值1，但是不存在最大值）；

（3）当定义域A=（-1，0]时（不存在最大值，但是存在最小值5）；

（4）当定义域A=[-1，10]时（存在最小值1，存在最大值65）；

（5）當定义域A=[a，b]时（需要分类讨论：如果a>2，则存在最小值为f（a），且存在最大值f（b）；如果a≤2≤b，则存在最小值1，且最大值为f（a）和f（b）中较大的一个；如果b<2，则存在最小值f（b），最大值为f（a））.

启发学生自主设计习题，培养他们的独创意识

新课程理念要求让学生以数学研究的视角从生活中发现数学问题，并主动运用所学的数学知识来对生活中的数学现象进行分析，进而自主解决实际生活中的数学问题. 为了培养学生的这种意识和能力，教师要在日常的教学中，为学生提供机会，让学生能够自主编制一些问题，这样操作能加深学生对解题思想以及方法的认识，能让他们更加深入地研究典型问题的解题策略. 这样的处理还有助于增添课堂的生机与活力，从而更加有效地培养学生的探索精神以及创新意识，有助于学生独立人格和自主意识的完善，进而形成更加深刻的数学观.

例如在三角函数的复习课上，教师先为学生呈现以下问题：

如图1所示为一块半圆形的空地，其圆心为O点，现在要在这块空地上划出一个区域作为花圃，该区域即为图中的内接矩形ABCD，AD边正好落在圆的直径上，另外两个点B和C分别落在半圆形的圆周上. 已知该半圆的半径长度为R，如何选择围绕圆心O对称的两点A和D的位置，使得矩形ABCD能够获得最大的面积？

这是一个非常生活化的实际问题，学生一般会按照习惯设定矩形的一条边长或∠DOC为自变量，然后建立一个有关于面积的函数，最终实现问题的解决. 为了让学生对此类问题的认识和理解更加透彻，并指导学生进一步思考：如果原始空地的形状为扇形，那么该如何设计问题？教师放手让学生展开自主探索和合作讨论，最终他们能形成以下几个类似的问题：

（1）已知一个半径为R，且圆心角等于60°的扇形OMN如图2所示，该扇形有一个内接矩形ABCD，该矩形的一条边正好落在半径OM上，求矩形的最大面积.

（2）现在有一个半径为R，且圆心角等于120°的扇形铁片，工人要在这个铁片上裁出一块矩形，现在提供两种剪裁方法. 其一如图3所示，让矩形的一边正好落在OM上，另一条边如图4所示，矩形的一边与弦MN平行. 请问哪一种裁剪方式可以裁出面积更大一些的矩形？请求出这个矩形的面积.

（3）现有一个半径为R，圆心角等于θ的扇形，其中0°<θ≤180°，求对应扇形形成内接矩形的面积的最大值为多少.

教学实践表明，如果能够让学生一直以自主探究的方式展开学习和研究，可以促成他们从多个角度以及方向对问题展开剖析，进而对事物形成更加完善的认识.

一题多解，深度优化学生的思维和探索

中学生本就有着丰富的想象力，而在习题教学中，教师有意识地引导学生拓宽问题的解决思路，对学生探索能力的培养大有裨益. 我们都知道知识是学生发展的基础所在，但却不是教育的根本目的，教育的目的在于发展. 因此围绕问题多一些思考和探索，既有助于学生探索能力的培养，又能提升学生的创新意识，发展他们的求异思维.

例如有问题：已知两个实数a，b，且a+b=1，求证：（a+2）2+（b+2）2≥.

为了引导学生更加细致地理解条件，并更加深入地研究不等式的基本结构，我们发现条件与不等式之间的联系还比较多，因此可以从不同角度来对不等式进行证明.

（1）运用不等式的相关性质，采用做差法进行证明；

（2）从待证明的结论出发，采用分析法和反证法进行处理；

（3）研究不等式的结构，利用基本不等式来进行处理；

（4）构建函数，转化为函数的值域问题进行处理，即设定y=（a+2）2+（b+2）2，然后再用a来表示b，则上述函数即演变为一个有关于a的二次函数，然后结合二次函数的值域进行分析.

由上述例子可以发现，教师在引导学生处理问题时，不仅要引导学生熟悉常规的问题处理方法，还要引导学生尝试一题多解. 如此才能提升习题的利用率，避免题海战术给学生带来的负担.

综上所述，教师在设计习题时要注意繁简适当、梯度有序，同时将趣味性、应用性以及创造性融入一题，从而有效唤醒学生的潜能，促成学生更加高效的发展.endprint