用好特殊函数值巧解函数恒成立问题

浙江省海盐县元济高级中学 (314300) 李慧华浙江省嘉兴市烟草公司海盐分公司 (314300) 步挺俊

在高三备考过程中,我们经常会遇到函数恒成立问题.这类问题往往会从正面利用函数在某个区间上的最值来进行处理,但有时出现的弊端就是在求最值的时候,会出现需要分类讨论的情形,这样无形中又增加了解题的难度.如果我们能够采用逆向思维,函数既然在某个范围内恒成立,则在此范围内的一些特殊函数值也成立,先将参数的范围进行缩小,再进行求解,往往可以简化甚至避免分类讨论,优化解题过程.下面举几个例子加以说明.

(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)是否存在实数a∈(0,2],使得对任意的x∈[0,a],不等式0≤f(x)≤a恒成立?若存在,求出所有a的值;若不存在,请说明理由.

分析:在第(Ⅱ)问中，如果按照我们平时的常规处理,转化为求函数f(x)在x∈[0,a]上的最大值小于等于a,同时最小值大于等于0,则需要对a进行分类讨论.但如果我们考虑利用f(a)≤a(既然对任意的x∈[0,a],不等式0≤f(x)≤a恒成立,则当x=a时,0≤f(a)≤a也成立),本题的解答就会得到意想不到的简洁.

例2 已知函数f(x)=(t+1)lnx+tx2+3t,t∈R.若f(x)≥4x对任意x∈[1,+∞)恒成立,求t的取值范围.

解:∵f(x)≥4x对任意x∈[1,+∞)恒成立,∴f(1)≥4,即4t≥4,∴t≥1.

[-3,3],有f(x)>λ.

分析:发现f(0)=λ,因此f(x)>λ即为f(x)>f(0),所以本题转化为研究函数在[-3,3]内的单调性即可.

(1)当λ<0,f′(x)>0恒成立,∴f(x)在x∈[-3,3]上单调递增,则当x∈(0,3]时,有f(x)>f(0)=λ成立;

(2)当λ>0,令f′(x)=0,得x=lnλ,∴f(x)在(-∞,lnλ)上单调递减,在(lnλ,+∞)上单调递增.①当λ>1时,lnλ>0,∴当x∈[-3,0)时,

函数f(x)为单调递减,∴必有f(x)>f(0)=λ成立;②当0<λ<1时,lnλ<0,∴当x∈(0,3]时,函数f(x)为单调递增,∴也必有f(x)>f(0)=λ成立.

综上得,对任意实数λ,总存在实数x∈[-3,3],有f(x)>λ成立.

说明:以上的例子都是巧妙地利用了特殊函数值进行解题的,从而使问题的解决变得简洁.