有界导出范畴的描述

曹 苗, 杨晓燕

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

Abel范畴上对象的有界导出范畴是一类重要的三角范畴. 设A是一个有足够投射对象的Abel范畴, 文献[1]给出了A上对象的有界导出范畴Db(A )可描述为某个关于投射对象的同伦范畴, 证明了三角等价

Db(A )≅K-,b(P ),

(1)

其中： P为A的所有投射对象做成的全子范畴；K-,b(P )表示P上有有限多非零上同调的上有界复形的同伦范畴. 文献[2]介绍了有限生成模的Gorenstein维数(简称G-维数). G-维数为0的模可视为交换Noether环上有限生成投射模和交换Gorenstein局部环上极大Cohen-Macaulay模的共同推广. 文献[3]将G-维数为0的模(无论是否有限生成)称为Gorenstein投射模, 并对偶地定义了Gorenstein内射模. Gorenstein同调代数用Gorenstein投射(或Gorenstein内射)模代替了通常的投射(或内射)模. 文献[4]提出了一个关于研究Gorenstein同调代数的假设: 经典同调代数的每个结果在Gorenstein同调代数中都有相应的结果; 文献[5]借助关于Abel范畴A上Gorenstein投射对象的同伦范畴的某个商三角范畴, 将式(1)推广到Gorenstein同调代数的框架下, 即当Gorenstein投射对象所做成的子范畴GP是A的预覆盖类时, 证明了三角等价

Db(A )≅K-,gpb(GP )/Kb,ac(GP ),

(2)

这里Kb,ac(GP )为GP上的有界无环复形的同伦范畴,K-,gpb(GP )表示GP上满足存在整数N, 对任意的n≤N与E∈GP, 使得HnHomA(E,G)=0的上有界复形的同伦范畴.

本文将式(1)与式(2)推广到更一般的情形, 证明有界导出范畴Db(A )可被描述为A某个预覆盖类X 对象的同伦范畴的三角商范畴.

1 预备知识

令A表示一个有足够投射对象的Abel范畴. 记P =P (A )为A的所有投射对象做成的全子范畴. 三角范畴C的三角子范畴D是全子范畴, 且关于同构封闭. 对三角范畴间的三角函子F: A→B, 记ImF为由F(X)的同构对象组成的B的全子范畴, 其中X∈A. 如果F是满的, 则ImF是三角子范畴.

1.1 预覆盖类

设C是加法范畴A的全子范畴,X∈X .X的一个C-预覆盖是指一个态射f:C→X, 其中C∈C, 使得对任意的C′∈C, 映射HomA(C′,f): HomA(C′,C)→HomA(C′,X)均为满射. 如果A中的每个对象X都有一个C-预覆盖, 则称C是A的一个预覆盖类.

1.2 复形

本文简略地将一个由A中对象构成的复形

表示为X. 定义复形X中的第n个同调对象为Hn(X)=Kerdn/Imdn-1. 如果对所有的n∈,Hn(X)=0, 则称复形X为零调(或正合)的. 如果只存在有限多个n, 使得Xn≠0, 则称复形X为有界的; 如果当n充分大时,Xn=0, 则称X为上有界的. 类似地, 可定义下有界复形.

设f:X→Y是复形同态, 则f诱导出一簇同态Hi(f):Hi(X)→Hi(Y). 如果对任意i∈,Hi(f)是同构, 则称f是拟同构. 由复形同态f:X→Y可构造一个新的复形Cone(f), 称为f的映射锥, 其第i层次的对象定义为Cone(f)i=Yi⊕Xi-1, 边缘算子定义为复形同态f:X→Y是拟同构当且仅当其映射锥Cone(f)是零调复形.

为方便, 下面列出本文用到的一些范畴:Kb(A )表示A上有界复形的同伦范畴;Kb,ac(A )表示A上有界正合复形的同伦范畴;K-(A )表示A上上有界复形的同伦范畴;K-,ac(A )表示A上上有界正合复形的同伦范畴;Db(A )表示A上有界复形的导出范畴, 即Verdier商Kb(A )/Kb,ac(A );D-(A )表示A上上有界复形的导出范畴, 即Verdier商K-(A )/K-,ac(A );Db(R)表示R-模范畴的有界导出范畴.

2 主要结果

令

K-,X b(X )={G∈K-(X )|存在整数N, 使得HnHomA(E,G)=0, ∀n≤N, ∀E∈X }.

易见,K-,X b(X )是K-(X )的三角子范畴, 对每个X∈K-,X b(X ), 当n充分小时, 有Hn(X)=0. 显然Kb,ac(X )是Kb(X)的三角子范畴,Kb,ac(X )是K-,X b(X )的三角子范畴. 从而有Verdier商K-,X b(X )/Kb,ac(X )和Kb(X )/Kb,ac(X ).

引理1设X是A的子范畴, 使得X关于满同态的核与直和项封闭. 若(X,d)是K-,X b(X )中的正合复形, 则X∈Kb,ac(X ).

证明: 因为子范畴X关于满同态的核封闭, 且X是正合的上有界复形, 所以对任意i∈, Imdi∈X. 另一方面, 由于X∈K-,X b(X ), 从而存在整数N, 使得对任意n≤N与E∈X,HnHomA(E,X)=0. 特别地, 对任意满足n≤N的整数n, 有HnHomA(Imdn,X)=0. 即典范满态射是可裂的. 从而X同伦等价于复形X′∈Kb,ac(X ), 这里

证毕.

引理2设X是A的子范畴. 假设P ⊆X且X是A的一个预覆盖类, 使得X关于满同态的核及直和项封闭. 若(P,d)∈K-,b(P ), 则:

1) 存在拟同构g:P→G, 其中G∈K-,X b(X );

2) 拟同构g具有如下性质: 若还有链映射f:P→G′, 其中G′∈K-,X b(X ), 则f可通过g分解, 即存在链映射h:G→G′, 使得在同伦范畴中有f=hg.

证明: 1) 因为P是同调有界复形, 不妨设Hn(P)=0, ∀n≤N. 取KerdN满的X 预覆盖GN-1→KerdN. 根据文献[6], 反复取满的X预覆盖, 有交换图:

从而有正合列

…→GN-2→GN-1→KerdN→0.

将其与序列

0→KerdN→PN→PN+1→…

拼在一起可得复形

G∶=…→GN-2→GN-1→PN→PN+1→….

由X 预覆盖的定义知, 对任意n≤N及E∈X,HnHomA(E,G)=0, 所以G∈K-,X b(X ). 分别取Y=PN-1,PN-2,…, 由Gn(n

因为对任意的n≤N,Hn(P)=0=Hn(G)=0, 所以g是拟同构.

2) 取正整数N, 满足对任意n≤N及Y∈X,

Hn(HomA(Y,G′))=0=Hn(P).

由1)用HomA(GN-1,-), HomA(GN-2,-),…作用到G′上有链映射h:

另一方面, 有链映射g:

若l≥N, 则fl-hlgl=0. 若l=N-1, 则由HN-1(G′)=0可知,fN-1-hN-1gN-1通过G′N-2→G′N-1分解. 归纳可见, 链映射f-gh是零伦的:

从而在同伦范畴中有f=hg. 证毕.

引理3[7]将非零对象变为非零对象的满三角函子是忠实的.

定理1设A是Abel范畴. 若X是A包含所有投射对象的一个预覆盖类, 且X关于满同态的核及直和项封闭, 则有三角等价

Db(A )≅K-,X b(X )/Kb,ac(X ).

Q:K-(A )→D-(A )=K-(A )/K-,ac(A )

的合成. 由于K-,X b(X )中的复形只有有限多个非零的上同调群, 所以Imρ包含在Db(A )中. 因为ρ(Kb,ac(X ))=0, 所以ρ诱导出三角函子

由引理2中1)知,

≅K-,b(P ),

设G1,G2∈K-,X b(X ),

这里s:X⟹G1是拟同构且X∈K-(A ), 而α:X⟹G2是K-(A )中的态射, 则存在拟同构t:P→X, 使得P∈K-(P ). 因为s和t是拟同构, 且G1∈K-,X b(X ), 所以P∈K-,b(P ). 故存在交换图:

由引理2中2)得交换图：

其中G∈K-,X b(X ),g:P→G是拟同构. 而l也是拟同构, 故映射锥Cone(l)是零调复形. 因为K-,X b(X )是K-(A )的三角子范畴, 所以Cone(l)∈K-,X b(X ). 由引理1得Cone(l)∈Kb,ac(X ). 从而证明了

3 应 用

下面给出两个应用, 证明模范畴的有界导出范畴可用Gorenstein平坦模和余挠对描述. 假设R是有单位元的结合环,R-Mod表示左R-模范畴.

3.1 Gorenstein平坦模

如果存在一个完全平坦分解

F=…→F1→F0→F0→F1→…,

使得M≅Im(F0→F0), 则称一个左R-模M是Gorenstein平坦的[8], 用GF表示所有Gorenstein平坦左R-模的类.

如果Gorenstein平坦R-模类关于扩张封闭, 则称一个环是GF-封闭环[9], 即如果0→X→Y→Z→0是R模的短正合列, 其中X和Z都是Gorenstein平坦R-模, 则Y也是Gorenstein平坦的. 易见, GF包含了所有的投射模. 其次, 当R是GF-封闭环时, GF关于满同态的核及直和项封闭. 最后由文献[10]知, 任意的环上GF是一个预覆盖类. 因此由定理1可得以下推论:

推论1设R是GF-封闭环, 则存在三角等价

Db(R)≅K-,GF b(GF )/Kb,ac(GF ).

3.2 完备遗传的余挠对

根据文献[11], 如果A=⊥B, B=A⊥, 其中：

⊥B={B∈R-Mod|Ext1(B,B′)=0, ∀B′∈B}；

A⊥={A∈R-Mod|Ext1(A,A′)=0, ∀A′∈A }.

则R-模中的对子(A,B)称为余挠对. 如果任意的左R-模N有短正合列0→B→A→N→0与0→N→B′→A′→0, 其中A,A′∈A,B,B′∈B, 则称一个余挠对(A,B)为完备的. 如果A关于满同态的核封闭, B关于单同态的余核封闭, 则称一个余挠对(A,B)为遗传的.

设(A,B)是R-模中完备遗传的余挠对. 显然, A包含了所有投射模类, 且A关于满同态的核封闭. 由于(A,B)是完备的, 所以A是一个预覆盖类. 从而由定理1可得以下推论：

推论2设(A,B)是完备遗传的余挠对, 则存在三角等价

Db(R)≅K-,A b(A )/Kb,ac(A ).

[1] GAO Nan, ZHANG Pu. Gorenstein Derived Categories [J]. Journal of Algebra, 2010, 323(7): 2041-2057.

[2] Auslander M, Bridger M. Stable Module Theory [M]. Providence, RL: American Mathematical Society, 1969.

[3] Enochs E E, Jenda O M G. Gorenstein Injective and Projective Modules [J]. Mathematische Zeitschrift, 1995, 220(1): 611-633.

[4] Holm H. Gorenstein Homological Algebra [D]. Copenhagen: University of Copenhagen, 2004.

[5] KONG Fan, ZHANG Pu. From CM-Finite to CM-Free [J]. Journal of Pure and Applied Algebra, 2016, 220(2): 782-801.

[6] Sather-Wagstaff S, Sharif T, White D. Gorenstein Cohomology in Abelian Categories [J]. Journal of Mathematics of Kyoto University, 2007, 48(3): 571-596.

[7] Rickard J. Morita Theory for Derived Categories [J]. Journal of the London Mathematical Society, 1989, s2-39(3): 436-456.

[8] Holm H. Gorenstein Homological Dimensions [J]. Journal of Pure Applied Algebra, 2004, 189(1/2/3): 167-193.

[9] Bennis D. Rings Over Which the Class of Gorenstein Flat Modules Is Closed under Extensions [J]. Communications in Algebra, 2009, 37(3): 855-868.

[10] YANG Gang, LIANG Li. All Modules Have Gorenstein Flat Precovers [J]. Communications in Algebra, 2014, 42(7): 3078-3085.

[11] Enochs E E, Estrada S, Iacob A. Cotorsion Pairs, Model Structures and Homotopy Categories [J]. Houston Journal of Mathematics, 2014, 40(1): 43-61.