数学概念教学的八个“关注”

福建省福安市高级中学 陈 雄

数学概念是数学教学的核心内容，是数学知识的基础，是万木之本，百水之源，是进行判断、推理、证明等逻辑思维的依据。《普通高中数学课程标准》提出“学生能在情境中抽象出数学概念，积累从具体到抽象的活动经验，把握事物的本质”。因此，关注数学的概念教学，提高教学效果是值得研究的。

一、关注核心素养，提升抽象概括能力

《普通高中数学课程标准》提出数学学科核心素养，其中，“数学抽象”位居首位，“数学抽象”指的是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。数学概念获得的过程是最典型的数学抽象过程。例如：函数概念教学中给出三个生活实例：“炮弹射高”“臭氧层空洞”“恩格尔系数”，这三个实例分别展现了函数的三种形式：“解析式”“图象式”“列表式”，提炼这三个实例的共性：三个实例变量之间存在着某种对应关系，最后抽象概括出“集合与对应”观点的函数定义。

二、关注概念的来源，加强优秀传统文化教育

著名数学家希尔伯特说过：“在每个数学分支中，那些最初、最老的问题肯定是源于经验，是由外部的现象世界提出来的。”算法的概念教学时，应介绍算法的来源，从数学发展的历史来看，算法概念古已有之，算筹是中国古代的计算工具，在春秋时期已经很普遍，算盘在明代开始盛行，今天仍在使用，中国古代的割圆术、秦九韶算法都是很经典的算法。因此，算法教学中应让学生了解中国古代数学的辉煌成就及对世界数学发展的贡献，加强中华优秀传统文化教育。

三、关注概念的定义方式，选择合适的教学方法

数学概念的定义方式一般有关系定义法、发生定义法、归纳定义法、约定式定义法。 关系定义法，它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间的关系作为定义的方式，例如：若ab=N，则logaN=b（a＞0，a≠1）。发生式定义方法，它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程下定义的，例如：“在平面内，一个动点与两个定点的距离和等于定长（定长大于两个定点的距离）运动所产生的轨迹叫椭圆。”关系定义法、发生定义法在教学时应注重概念的产生过程，教学一般采用发现式、探究教学法，例如：椭圆概念教学时，请学生借助自制教具：木板、细绳、图钉、铅笔，同学合作按要求画椭圆，同时配合多媒体演示画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验，让学生通过观察、讨论、概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维的能力。归纳定义法，这是一种给出概念外延的定义法，例如：实数和虚数统称为复数；椭圆、双曲线和抛物线叫圆锥曲线等等，都是这种定义法。揭示外延的定义方法还采用约定的方法，因而也称约定式定义方法，例如：a0=1（a≠0），0!=1。归纳定义法、约定式定义法在教学时一般采用讲授式教学方法，应关注概念的合理性。

四、关注概念的内涵与外延，多方面理解概念

每个概念都有其基本条件，这就是内涵，只有正确理解分析条件，才能抓住概念的本质特征，防止条件不充分的错误。如学习二面角的平面角这一概念时，应引导学生总结三个基本条件：（1）顶点在棱上；（2）角的两边分别在二面角的两个半平面内；（3）角的两边和棱垂直。同时，每个概念又有其所包含的内容，这就是概念的外延，这时，需抓住概念的表象特征，防止出现混淆不清的现象。例如：讲解二面角的平面角时，应对其外延范围［0，π］进行研究，防止受直线与直线所成角无钝角这一事实所干扰。

五、关注联系相近概念，增强记忆效果

事物之间是普遍联系的，概念之间也是普遍联系的。若按照一定规律加强或削弱条件，就可以形成一类新概念，如在四棱柱、直四棱柱、长方体、正四棱柱、正方体之间就存在密切的联系。按照类比的思想考察概念的相似性，亦可学习新概念。如介绍二面角的概念，可采用类比法提问：平面几何中，角是怎样定义的？角是平面内的一点引出两条射线所形成的图形。若用空间的一条直线代替平面内的一点，过此直线的两个半平面代替从平面内一点引出的两条射线，这样定义二面角，让学生发现知识间的联系与发展，有助于加深理解概念，增强记忆效果。

六、关注概念辨别对比，清晰概念本质

对于新知识的认识，开始阶段往往并不深刻，甚至易混淆，发生错误或片面下结论，这需要教师清晰概念，具体做法就是通过思考解答一组与所学概念有关的辨析题来澄清模糊认识，排除错误观念，正本清源，强化对概念的理解。例如：学习椭圆定义后，用以下填空题清晰概念：（1）到F1（-2，0），F2（2，0）的距离之和为6的点M的轨迹为_______。（2）到F1（-2，0），F2（2，0）的距离之和为4的点M的轨迹为_______。（3）到F1（-2，0），F2（2，0）的距离之和为3的点M的轨迹为__________。

七、关注构造反例，培养逆向思维能力

教材中，多以正面的例子帮助学生理解巩固数学概念。教学过程中，若能用逆向思维构造反例，也是一种理解抽象的捷径。在向量概念的教学中，学生往往停留在数量概念的认识，则可用如下判断题：（1） 向量的模的取值范围是（0，+∞）。（2）若都是单位向量，则（3）若则的方向相同。（4）若则以上判断题可构造反例辨析，紧扣向量的相关概念，同时关注零向量，加深对概念的理解与记忆，培养逆向思维能力。

八、关注概念的应用，巩固深化概念

由于数学概念具有高度抽象的特点，容易遗忘或者概念间交叉混淆，不易立刻达到牢固掌握的程度，所以巩固概念是十分重要的，在古典概型概念教学时，学生往往会忽视古典概型的两个特征，错用古典概型概率计算公式，例如：一个家庭中有2个孩子，按性别列举这两个孩子的基本事件，并求都是男孩的概率。学生在列举时往往误认为（男，女），（女，男）是同一基本事件，忽略每个基本事件出现的可能性相等这一特点，以至认为都是男孩的概率是因此，在教学中应结合实例应用进行深入讨论，加深对概念的理解。

总之，在数学概念教学中，必须关注概念的来源、表征、内涵、外延、对比、性质、应用，培养学生的抽象概括能力。

[1]中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社．

[2]杨广娟．“数学抽象”核心素养的养成途径[J]．中学数学（高中版），2017（4）：32-33．

[3]胡吉蔚．精致数学概念设计，提升数学抽象素养[J]．数学教学通讯，2017（3）：22-23．