高中数学不等式易错题型与解题技巧

江苏省如东县岔河中学 朱燕卫

随着新课改内容的不断深入，如何在课堂上实施素质化的教学，也成为数学老师在工作中的重要命题。很多高中数学教师开始在自己的课堂上扭转以往单纯靠大量刷题强化训练的模式，更注力于高中生学科思维能力的养成。在对不等式对应习题训练时，可整理出一些关于不等式常见的易错题型，从方法上进行较为系统的分析，期待能对我们的数学老师起到一些积极的影响。

一、与线性规划相结合的问题

在高中数学不等式内容的学习中，学生经常会面临的一类问题就是如何利用像人力、财力、物力等方面的资源，使得收益能够最大化，抑或如何借助更少的资源注入使得任务能够完成，这类问题被称为“最优化”问题。在高中数学的学习中，关于这个知识点，多数学生犯错的原因就是没能构建清晰的解题思路，缺乏相应的解题技巧。在解决此类与“最优化”关联的题目时，教师可引导学生从线性规划的角度考虑，通过展开相关联的问题来求解。

例1 某工厂准备生产甲、乙两种产品，现知生产出一个甲产品需要使用A原料3公斤，B原料1公斤；生产一个乙产品，需消耗A原料2公斤，B原料2公斤。现厂内有A原料1.2吨，B原料0.8吨，若生产一个甲产品平均获得30元利润、生产一个乙产品平均可获得40元利润，则甲和乙两种产品各生产多少件，才能获得最大利润，

最大利润为多少？

像这类题的解答，学生往往不知道该从哪一步入手，所以为了清楚地把握解题内容，不妨将两种商品的内容利用表格的形式对比出来：

甲产品 乙产品 原料限量A 3 2 1200 B 1 2 800利润 30 40

接下来可依据题目提出的要求，分别设生产甲和乙产品x、y件时，能够获得最大利润。从上面所列出的表格中各项数据之间的关系，可得如下不等式关系：3x+2y≤1200，x+2y≤80，x≥0，y≥0，这个时候不要急着分析方程组，先推论出利润总额为L=30x+40y，根据x和y的不等关系，老师引导学生绘出相关的函数图象。在观察图形内容时，需要让学生明白L在函数图象上所代表的几何意义，不妨先对和L相关的方程进行推导：这是从目标函数所得到的结论，结合对图形做动态分析，对产生变化的过程中的相关量的准确定位。令L=0，可以推导出L0：30x+40y=0。这时再根据函数图中的可行区域，找出L取得最值点的位置，也就是3x+2y=1200、x+2y=800这两条直线相交的点，x=200、y=300，进而可以得出Lmax=30×200+40×300=18000，所以，生产甲商品200件、乙商品300件，可以获得最大利润18000元。像这类与线性规划结合的不等式问题中，关键点还是要明确各个条件的含义，找出它们之间的关系，绘出准确的函数关系图，这样才能得出合理的答案。

二、高次不等式的相关问题

在学习不等式时，高次不等式十分关键。学生在解决此类问题的过程中容易出现错误的地方主要表现为：其一，学生对于解集的区域分布不太明白，可能有些学生在解答的过程中能够得出解集的范围，但是对于具体的解集范围边界，学生还是拿捏不准，这主要是因为学生不能确定解集是否要取边界值而造成的；其二，由于学生在解题时忽略了题目中一些比较隐晦的条件和要求，如在高次分式的不等式中，很多学生遗忘了分母不能为0这一基本原则，一个错误的理念只能得出一个错误的结果；其三，学生在使用“穿根法”进行解题的过程中，没能很好地把握不等式函数的升降规律，影响了解题思路。

例2 求不等式（x+3）（x-2）（x-4）≤0的解集。

此时，解题思路的建立能够顺利解决此类问题。和其他阶段的学习不同，高中数学更强调学生的解题思维，而不是计算能力。像这道题，老师可以帮助学生寻找突破口，可能有些学生对于不等式的解法不太明白，老师可以假设（x+3）（x-2）（x-4）=0，这时学生可以在坐标轴上得出三个零点，分别是-3，2，4，并且通过这个内容可以将数轴分成四个区间。这个时候要确定区间的正负问题，老师要引导学生将解题目光放在突破点上，根据方程的内容，可解出方程最右的第一区间是正区间，使用正负相间原理，进而得出剩下的区间正负情况。确定之后，可以将方程变换为原来的（x+3）（x-2）（x-4）≤0，找出负区间进行解答。所以，可以得出该不等式的解集为{x|2≤x≤4或x≤-3}。

在解决这类难题的时候，很多学生会被复杂的题干内容所迷惑，老师在进行讲解时，最主要的一点就是帮助学生理清解题思路，使用函数图象来划定区间，进而根据不等式的内容解出答案。

三、不等式恒成立的问题

在高中不等式的学习中，学生也容易忽视不等式恒成立的相关问题，在例题的设计中，其往往与数列或者是抽象函数等内容相结合，较为抽象，这直接导致学生在解题时错误较多。近几年的高考试题倾向于就含参不等式的恒成立问题来出题，因新课程标准及高考考试说明侧重于导数应用内容要求，不等式的恒成立问题与导数问题交织正成为新高考下的命题走向。老师在教学中既要帮助学生掌握一定的解题技巧，像分离参数法、主参换位法、数形结合法以及函数性质法等内容，同时还要帮助学生在题目中有效提取可借用的知识模块内容，以丰富自身的解题思路。

例3 已知x∈R，不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，根据以上已知条件求出实数m的取值范围。

此类不等式问题因含有参数，学生难以拿捏答案的取值，所以老师在讲解中，要让学生有意识地将不等式转化为二次函数或者是二次方程，通过根的判别内容或者利用数形结合的方法，将结果直观的推理出来。像这道题，在解答中，不妨设f(x)=x2-2x+3-m，根据函数的性质进一步做出推断，可得函数图象为开口向上的抛物线，再从题干内容要求，为使f(x)≥0（x∈R），就需要Δ≤0，即（-2）2-4（3-m）≤0，可以进一步计算出m≤2 → m∈（-∞，2]。

该题中，含参不等式使得不等式恒成立的问题增加了难度系数，题目中给出了含有未知数的不等式，这样在求解的过程中，必然要对未知参数进行全面分析，包括它在取值上有没有限定、会不会存在一些特殊的结果。老师在对学生进行这方面的讲解时，要让学生明确解题思路，把握解题的关键。

在高中学习中，数学更像是一棵大树，它由各种各样的知识点共同构成，所以老师在进行教学的时候，不能将某个内容孤立地讲解出来。由于多数学生已经具备了相应的解题能力，并且积累了一定的数学思维，所以老师要拓宽学生的解题思路，帮助他们进行内容的学习。不等式知识和其他知识的联系紧密，并且在考试中的变化也多种多样，所以老师在进行教学的时候，一定要帮助学生建立开放的学习态度，针对学生易错的内容，从计算方法和解题思路两个方面入手，对存在错误的地方找到对应解题切入点，有效规避错误的再次发生，促使学生提高解不等式相关试题的正确率。