因式分解实录

广东省广州市增城区正果中学 陈强毅

因式分解是初中数学教学与学习的一块跘脚石，克服它，就能通往更美好的知识甸园。教师在因式分解的教学时也发现，无论怎么教，学生都不会，花很多时间去教学、做练习、复习，但实际效果都不好。学生在学习因式分解时更是着急，越急越学不会，越心慌，有些学生甚至不想往后学习了。有些教师在因式分解的教学时一带而过，明知教不会，就随便教。在人教版的因式分解章节中，已经简化了因式分解的知识点，把十字相乘法放到了选学的内容里，即便简化了因式分解知识点，只学提公因式法和公式法，学生仍旧难以掌握，这让很多教师感到困惑。用学生的思维去理解因式分解，去教学，或许会得出意想不到的效果。

一、因式分解的本质

很多学生在学习因式分解时存在困难是因为不明白因式分解的本质和不明白为什么要进行因式分解，因式分解的本质是把一个多项式化成几个整式的积的形式。因式分解是分式学习的前奏，两者之间密不可分，息息相关，相互影响。通过因式分解才能约去分式中相同的项，是一个化简的过程，化简了才便于运算，让计算更简单。在分式通分时，利用因式分解可让分母变得更简单，减少错误。当学生明白因式分解的意义所在，有目的地进行学习，就会知道学习因式分解是有用的，从而提高学习兴趣。因为学生不知道因式分解的用处，又难学，所以大多数学生都不喜欢这个知识点的学习，觉得学来没用的就不想学了。通过调查了解到学生对因式分解的学习热情普遍不高，如果学生知道这个知识点是很有用的，那么他们就会加倍努力去学习。有目的，自然效果就不同。

二、因式分解为什么难学

很多老师觉得因式分解的内容简单，却不明白为什么学生学起来那么困难。其实，主要有以下几个原因：

1.提公因式没学好。

2.公式法没掌握好。

3.因式分解过于单调，学起来枯燥无味。

4.因式分解和整式的乘法运算是相反的，又十分相似，就像一个沙漏，可以两边倒，却不知哪边是头，哪边是尾。学生在两者之间的运算是盲目的，没有方向，什么时候是和，什么时候是积，让学生很是困惑，不能区分，因而学不好。

5.学生操之过急、不够耐心，甚至看到因式分解就怕。

三、因式分解在教材中处于一个尴尬的地位

1.因式分解在分式之前，这时学因式分解，学生会觉得枯燥无味，不知道因式分解的用处，一味学习这么困难的知识，一错再错，打击学生学习积极性。学生在和与积之间很难区分，如在代数式2ax2+4ax+2中，和中有积；而在代数式（2x+y）（2x-y）中，积中有和。怎样才是积的形式，什么时候不能再分解，没有一个明确的方向，让学生很是为难，无从下手。

2.如果把因式分解放在分式之后，那么很多约分与通分的知识将无法进行。很多时候，分式的值为0、有意义都与因式分解有关。因此，它只能在分式之前学习。

四、因式分解的方法和步骤

（一）因式分解的方法

在人教版初中数学中，要求学生学习提公因式法与公式法，并在课后阅读与思考里对十字相乘法进行了简单的介绍。为了减轻学生的学业负担，我们主要围绕这两种方法进行教学，要求学生尽量掌握这两种因式分解方法，为以后学习分式等有关内容打好基础。对于“十字相乘法”，我们只要求学生简单了解，并介绍一种最简单的形式——x2+（p+q）x+pq型的因式分解。

1．提公因式法

（1）简单型多项式因式分解，例如：因式分解8a3b2+12ab3c，在这种形式里，找公因式的顺序为先找数字，再找字母。把8写成2×4，把12写成3×4，找到数字部分的公因式4，字母部分为ab2。所以，8a3b2+12ab3c的公因式是4ab2。

（2）整体提取型因式分解，例如：因式分解2a（b+c）-3（b+c），这里要把（b+c）看作一个整体进行提取，把剩下的2a-3括起来，结果为(b+c)（2a-3）。

2．公式法

（1）平方差公式法，形式如a2-b2=（a+b）（a-b），它的特征是一般有两项。

（2）完全平方公式法，形式如a2±2ab+b2=（a±b）2，它的特征是一般有三项。用公式法时必须准确找出代数式中的“a”和“b”。

（二）因式分解的步骤

因式分解的步骤简记成三个字：1.“提”，即提取公因式；2.“公”，即用公式法进行因式分解；3.“查”，在进行完前两步后，对结果进行检查，看看还有没有可以分解的因式。如：很多学生以为做到这里就完成了，通过检查，可以发现（a2-b2）还可以分解，正确的做法是

五、因式分解中出现的问题

1．不会加括号

2．很多学生不会把1写成12

3．提公因式不彻底

4．不会“调位”

在因式分解-4x2+y2时，大部分同学的做法为：-4x2+y2=（-2x）2+y2=（-2x+y）（-2x-y）。-4x2与y2之间是和的关系，却硬是把平方差公式套上去，说明这部分同学对知识点掌握得不够透彻。正确的做法应该是先变为y2-4x2，再进行分解，如：-4x2+y2=y2-4x2=y2-(2x)2=(y+2x)（y-2x）。

5．分解不彻底

6．不会改变符号

错例1：因式分解-x2+4xy-4y2=(-x)2+2(-x)·2y-(2y)2=(-x-2y)2，正确的做法是先添负号添括号，再进行因式分解，如：-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2。

错例2：因式分解：m(a-3)+2(3-a)，很多同学在做这道题时不会分解，找不到相同的项，没有发现a-3与3-a是互为相反数的关系，把m(a-3)+2(3-a)中第二项中的3-a变为a-3，就可以进行因式分解了，方法是把第二项前的“+”变为“-”，即m(a-3)-2(a-3)=(m-2)(a-3)。

7．把符号看错

8．系数为1时提取漏项

在学习因式分解的过程中，要注意以下几点：

1.灵活动用公式。

2.会交换加数的位置。

3.会根据公式对代数式进行正确的变形。

4.熟练掌握公式的形状结构，清楚什么时候能用公式。

六、怎样能学好因式分解

1.准确地提出公因式，并检查是否漏项。

2.熟练掌握平方差公式和完全平方公式，方法是每天利用1～2分钟左右快速读一遍。

3.用公式法因式分解时，用横线或方框把公式中的“a”和“b”标记出来。

4.会对代数式进行适当的变形，灵活运用公式。如：-a4+16变形为16-a4，并把a4变为（a2）2。