小区开放对周边道路通行能力影响的对策模型

李小琴

摘 要 本文通过建立对策模型，定量分析小区开放对周围道路通行能力的影响。首先把小区开放的实践活动进行量化，用增加可通行道路数表示开放小区，建立小区周围道路通行能力的变动大小模型，该模型是把实际问题转化为一个非合作对策问题中的“Nash平衡”问题，利用C语言编程仿真计算，得出影响道路通行能力的一级指标是道路通行能力。

关键词 数学建模 对策论 计算机编程

中图分类号：U491 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.12.078

The gaming Model of the Influence of District Opening on the

Surrounding Road Capacity

LI Xiaoqin

（Guangdong University of Science and Technology， Dongguan， Guangdong 523079）

Abstract In this paper， through the establishment of game model， quantitative analysis of the influence of open area around the road capacity. The first to quantify cell open practice， by increasing the number of access roads can be said that the open area， changes in the size model of the capacity of the area around the road， the model is the actual problem as a non cooperative game problem the Nash balance problem， using C language programming simulation， the road capacity is an index that affect the traffic capacity of the road.

Keywords mathematical modeling， game theory， computer programming

小区开放影响小区周围道路通行能力。一方面，小区开放使得小区周围可通行道路增多，增多的可通行道路可以承载更多的车流量，提高小区周围道路通行能力；另一方面，小区开放使得小区与周围道路连通的交叉口也增多，车辆在交叉口处的行驶速度必然会降低，影响主路的通行速度，此时小区周围道路通行能力反而会降低。那么小区究竟开放还是封闭为好？为了找到评价小区开放对周边道路通行的影响的一级指标，我们把开放小区周围交通变化问题转化为一个对策问题来研究。

设某一地区有n个不同结构、大小的小区，各小区都想尽各种办法来缓解小区周围的交通堵塞问题，如开放小区，提高服务水平条件（如派小区保安进行交通管制或安置红绿灯交通标志），聘请高级建筑设计和规划人才去更合理的规划小区内的道路网络等等。显然，由于同一个地区的进出的车辆数，即该地区的通行能力总量是有限的，则各小区之间在小区内承受的车流量问题上，是存在一定的竞争性，因此可利用对策论知识来进行研究分析小区开放对周边道路通行能力的影响。

1 问题假设

（1）同一出行高峰期时，该地区的全部车流量由这n个小区及其周围道路来承受。

（2）假设该地区在同一出行高峰期时的全部车流量与小区通行能力呈负指数函数关系。小区的道路通行能力是指保持道路通畅前提下，单位时间内小区所能承受的最大车流量，也可以转化为各种策略，如开放小区，即增加小区内通向小区外的道路条数，提高服务水平条件（如派小区保安进行交通管制或安置红绿灯交通标志），聘请高级建筑设计和规划人才去更合理的规划小区内的道路网络等。由于出行者都偏于使用通行能力高的道路，则如果该地区全部车流量越小，相当于小区之间竞争就越激烈，小区需要的道路通行能力就越高，因此假定该地区在一定出行高峰期内的全部车流量与小区道路的通行能力呈负指数函数关系是合理的。

（3）假设小区道路通行能力與提高小区对车辆车主的服务水平呈指数函数关系。为了要提高小区对车辆车主的服务水平，就会吸引更多的车辆使用该小区的道路，从而增加了该小区的通行能力。所以该假设也是合理的（见表1）。

2 该模型的符号说明

则在该出行高峰期内小区的收益函数为 ，该收益函数反映的是小区通行能力的变动大小。

通常在同一地区内，道路通行能力总量是有限的，故该地区对小区内平均每条可通行道路的道路通行能力需求不仅受本小区道路策略的影响，还受其他小区道路策略的影响。当其它小区采取更有效的策略来竞争时，出行者对小区i的通行能力需求Vi就会随之变化，从而影响到小区的道路通行能力的变化量（也即对策论中的收益），从而可设小区的收益函数为 。因此每个小区在制定本小区道路通行策略时就会考虑到其它小区的道路通行状况。故可以将此问题建立为一个Nash平衡对策模型。

3 问题分析及建立对策模型

利用文[1]中的方法，可以建立为以下对策模型：

其中，为该地区道路通行能力的最大需求量。

由Largrange乘数法原理得，则Largrange函数

求偏导数得

则由微积分极值原理得，满足以上条件的策略是一个条件极值点，也是一个Nash平衡点。

当忽略约束条件时，该问题对应的Nash平衡点满足的条件变为：endprint

由于一个策略必定受各种因素的影响，不妨设受两个不同的因素影响，故可通过不同一量纲的参量和来量化，从而可定义，因此可以表示为。此时，Nash平衡点可表示为：

其中，为小区的最高通行能力，实际中，每个小区都会通过各种策略来提高该小区的道路通行能力，也即提高整个地区对小区内平均每条可通行道路的通行能力需求，但道路通行能力需求的提高不是无限量的，它要受各小区最高通行能力的限制，因此要制定约束条件。

4 解决问题

利用文[2]的Nash-Cournot平衡点求解方法求解以上模型。

算法思想是：任何一个小区的最优策略是在竞争对手制定的策略已定的情况下，以max为目标制定的，即符合条件：

其中为小区内可通行车道数，整个地区对小区内平均每条可通行道路的通行能力需求，为小区的道路通行能力的占有率，由假设2得，是小区的竞争策略的函数，且，，为该地区道路通行能力的最大需求，为提高服务水平的量， 为提高服务水平带来的单位效益，定义，由于，不是相同的量纲，所以可以用表示，表示除了，之外的其它因素对小区的通行能力的影响，此处假设==…=， 衡量除了之外的其它因素对的影响，此处假设==…=， 表示在一定出行高峰期内小区的原有通行能力，由假设3得。

根据以上所述的条件，将整个平衡点的求解分成以下两种情况：

（1）给定时求解（），步骤如下

①取初始值，记为；

②在每个质点上，求每个小区的；

③利用求；

④如果（也就是全部的转到步⑤，否则转到步②；

（5）求得每个小区的决策变量（）。

（2）变动时求最终的

①取初始值的，记；

②利用以上给定时（）的求解方法，计算出在给定时的；

③令 ，其中为小区的最高通行能力。

④如果，则结束，否则转步②。

为了简便，不妨假设该地区有两个小区，并令=100，，=50，， =0.01， =0.0001。则由以上算法编程（Turbo C V2.0编译的C语言程序）算得，运行结果见表1—表3。

由结果可知：

（1）在两小区的最大通行能力都大于且相等时，如 ==800，运行结果见表2。由表2可知，两个小区的各项参数相同，也就是两小区的通行能力占有率相同，则所采取的竞争策略一样，得到的收益也一样。

（2）在两小区的最大通行能力都大于但不相等时，比如=700，=800，运行结果见表3。由表3可见，所得的Nash平衡点与以上情形相同。通行能力大的小区由于能力闲置而遭受的资源损耗大于通行能力小的小区，所以实际中，通行能力大的小区的通行能力变化量会小于通行能力小的小区的通行能力变化量。而上述的假设得到的收益函数也忽略这点，故由程序算得的结果与实际情况是吻合的。

（3）当一个小区的最大通行能力大于，另一个小区的最大通行能力小于时，如=600，=450和=600，=430等，结果见表4。

由表4可知，（1）两个小区的道路通行能力各自在整个地区的道路通行能力所占比重随着道路通行能力小的小区的通行能力变化而变化，而且所占比重变化的幅度与道路通行能力的变化幅度相同；（2）随着道路通行能力小的小区的道路通行能力降低（即小区封闭），道路通行能力大的小区的可通行道路数会上升、其小区交通管制服务水平也随之提高，其道路通行能力变化量也提高，而道路通行能力小的小区恰好与之相反。因此，为了得到最大通行能力变动，能力大的小区应增加可通行的道路數（即开放小区），为了保住原有行驶车辆和吸引更多行驶车辆的顺利通行，各小区必定会提高道路通行管制的服务水平，而道路通行能力小的小区则应采取减少可通行道路数的方法（即封闭小区），由于一个地区的道路通行能力总量有限，各小区必定会降低道路通行管制的服务水平，最终达到一个Nash平衡。

由以上分析结果得，模型求解的结果与实际情况相吻合，同时，并不是对所有小区来说都应开放小区、提高道路通行管制的服务水平和聘请高水平的道路运输规划人才等措施越多，小区的道路通行能力变化量就会越大，而是应根据本小区和其它小区的最高大通道路通行能力，来决定是否适合开放小区。

基金项目：广东科技院级“质量工程”立项建设项目《基于数学建模视角的高等数学教学改革探索——以我院计算机专业为例》，项目编号：CQ2016052

参考文献

[1] 师欣.港口竞争对策模型比较研究.管理工程学报，Vol.12，No.4，17-22，1998，12，12.

[2] 师欣.港口竞争对策模型的研究.系统工程理论与实践，Vol.9，No.9，27-33，1998，9.endprint