大型卫星太阳能帆板的分布式振动控制

王恩美，邬树楠，王晓明，吴志刚, 2

1.大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116024 2.大连理工大学 航空航天学院，大连 116024

大型太阳能帆板作为卫星的能源保障部件，是最为常见的大型空间结构形式，这种结构往往具有低频、模态密集、强几何非线性等动力学特征[1]。卫星长期在轨运行期间，空间环境多种不确定因素的影响以及卫星自身姿态调整所产生的不平衡惯性力或燃料晃动等，使得卫星太阳能帆板容易发生挠性振动；再者，由于帆板自身结构阻尼低，空间环境又缺乏大气阻尼，振动发生后很难自行衰减，可能造成结构疲劳损伤甚至影响卫星整体航天器系统稳定。

大型空间结构的振动控制问题一直是航天领域研究的重点内容，如Hu[2]和Kar[3]等应用了H∞鲁棒控制方法实现了柔性板的振动控制；Luo等[4]采用压电作动器作为智能元件，实现了大型桁架结构的比例-微分(PD)振动控制；Hu等[5]设计了自适应控制器，实现了大型空间悬臂柔性结构振动抑制；许睿和李东旭[6]采用周期变论域设计了变论域自适应模糊控制器，有效抑制了柔性太阳能帆板的振动；苗双全等[7]以挠性航天器姿态机动系统为背景，开展挠性附件残余振动抑制研究，提出了一种输入成形与自适应滑模控制相结合的控制策略；蒋建平和李东旭[8]利用速度反馈和线性二次最优调节器(LQR)设计智能太阳翼的控制系统。上述控制方案均归属于集中式控制，但随着空间太阳能电站等超大型空间结构的出现，太阳能帆板的结构尺寸可达千米量级，控制所需的传感器和作动器数目大幅增加，造成控制系统庞大且复杂[9]。为了提高集中控制器的求解效率，一般采用模态截断[10]来减小控制系统维数；而对于模态相对密集的大型空间结构，这种处理方式容易造成观测溢出或系统失稳。此外，集中式控制是采用单一控制器的形式，当唯一的控制器发生故障时无法保证系统的容错性能。

考虑到大型空间结构受发射装载体积限制，通常采取收拢并在轨展开[11]或模块化后在轨组装[12-13]的方式进行系统构建。若将大结构的控制问题也“化整为零”转化为若干个子模块的控制问题，每个子模块有控制器进行独立控制，则在保证容错性的前提下，控制系统过于庞大所造成计算效率低的问题也可以得到解决，这引起了较多学者的关注。Gardonio和Bianchi等[14-16]利用多级分散控制理论进行了智能板的声波辐射减振控制研究，较好地衰减了声波辐射造成的影响；李东旭等[17-19]针对大型挠性结构分散化振动控制问题作了系统性的研究，开展了卫星太阳能帆板和大型智能桁架结构的分散化振动控制的理论研究与实验验证。“分散式”的控制方法可在实现整体结构控制的前提下，有效降低控制器的设计复杂度，继而提高计算效率。

基于上述分析，本文针对大型卫星太阳能帆板(LSSP)主动振动控制器设计复杂、难以重复扩展且容错性能低等问题，提出一种分布式振动控制器的设计方法。与现有振动控制方法相比，本文提出的分布式控制方法基于控制子模块的动力学模型直接进行控制器的设计，可避免由模态密集造成的模态降阶困难，并具有可随结构组装直接扩展的特性，通过子模块的独立控制以及彼此的信息交互完成整体结构控制。最后以大型卫星太阳能帆板的振动控制为例，进行子模块控制器的在轨扩展与容错性能数值仿真，以验证分布式控制方案对大型卫星太阳能帆板结构振动控制的可行性和有效性。

1 面向分布式控制的子模块设计

以大型卫星太阳能帆板(以下简称帆板)为研究对象，假设帆板由模块化的单元结构组装而成，研究中忽略帆板与航天器主体间以及帆板单元结构间的连接部件，认为帆板展开后为刚性锁定，并忽略航天器的刚体运动影响。当帆板随航天器的刚体运动固化时，可将帆板简化为悬臂板模型[20]，如图1所示。组装单元内或单元间布置有主动作动器[8,21-22]，根据控制需要输出控制力或力矩，使帆板产生弯曲变形和扭转变形，从而实现主动振动抑制。

基于分布式控制的思想，设置每个或几个组装单元为一个控制子模块进行独立控制，并通过控制器之间的信息交互实现结构的整体控制。为更好地体现结构本身的物理连接，设置邻接控制子模块之间有重叠区域，重合区域的范围可根据作动器的作动范围确定，如图2所示(图中虚线表示多个连续的控制子模块)；帆板的控制子模块可根据左右两端邻接的不同进行分类：第1种是一端固定、一端有邻接(图2和图3中的红色区域)；第2种是左右两端均有邻接 (图2和图3中的蓝色区域)，该种子模块可随结构的进一步组装直接重复扩展；第3种是一端有邻接、一端自由 (图2和图3中的绿色区域)。

图1 大型卫星太阳能帆板简化模型Fig.1 Simplified model of large satellite solar panel

图2 大型卫星太阳能帆板的分布式控制子模块Fig.2 Distributed control units of large satellite solar panel

图3 大型卫星太阳能帆板3种控制子模块Fig.3 Three control units of large satellite solar panel

2 分布式振动控制系统设计

2.1 动力学模型

帆板整体坐标系的原点位于帆板根部与中轴线的交点，x轴指向帆板长度延伸方向，y轴与x轴形成的坐标平面与帆板平面重合，并在该平面内垂直向里，z轴和x轴、y轴构成右手坐标系。

采用四节点板单元建立子模块的有限元模型，将子模块的物理边界处理为弹性约束，利用哈密顿原理导出四节点板单元的动力学方程，通过组装可得到控制子模块i的刚度矩阵和质量矩阵。为模拟真实的结构动力学响应，还需考虑阻尼效应，第i个子模块的有限元模型可以表示为

(1)

式中：xii为子模块i的节点自由度向量；Mii和Kii分别为子模块i的结构质量矩阵和刚度矩阵；Cii为阻尼矩阵，研究中采用瑞利阻尼假设；Biu为作动器布置位置矩阵；ui为控制输入，其维数与子模块作动器输出自由度一致。

为便于控制器设计，将子模块的动力学模型表示为状态空间形式，即

(2)

(3)

设l为子模块节点数，m为子模块作动器输出自由度的个数，则X和u分别为维数为6l×1和m×1的向量；Ai和B2i分别为维数为6l×6l和6l×m的矩阵。

将式(2)表示的子模块i状态空间模型，按照子模块位置矩阵P进行组装合并，假设共有n个子模块，则

(4)

(5)

其中：

(6)

2.2 子模块振动控制器设计

本研究的目的是设计作动器的控制输出，抑制结构在外力干扰或初始变形工况下的振动，使得帆板尽快恢复到平衡位置。LQR方法基于实际物理意义从系统能量的角度提出性能指标函数，以状态变量的反馈形式作为最优控制规律，简单有效，是目前用于板的振动控制中研究较多的一种控制方法[23-24]。考虑到在实际应用中，系统的状态不是全部可量测到的，且量测过程中也可能受到量测噪声的干扰，需要从量测到的数据中重构出所需的状态信息，这里采用应用广泛的卡尔曼滤波器[25-26]对状态进行估计。

考虑随机量测噪声和测量点位置，系统式(5)的量测方程表示为

Y=CYX+v

(7)

(8)

(9)

式中：Ki为通过LQR方法求得的控制矩阵，维数为m×6l。针对式(2)表示的子模块i,线性二次性能指标可以表示为

(10)

(11)

式中：Si为对称正定矩阵，是代数Riccati方程式(12)的解。

(12)

通过求解式(12)得到Si后，再代入到式(11)中计算Ki,进而得到式(9)表示的最优控制器。根据结构模块化特点以及图3中子模块的种类，可知Ki∈{K1，K2，…,Kn}(i=1,2,…,n)。

2.3 分布式振动控制器的交互设计

通过子模块的振动抑制来实现整体结构振动抑制的策略，实质是放弃全局最优来实现子模块局部最优，而设计各个控制器彼此之间存在信息交互，形成控制网络，能更好地实现控制目标。令信息交互存在于左右邻接子模块之间，交互信息为相邻子模块的相对测量值。在式(9)中添加交互项，则第i个控制器变为

(13)

式中：Yi为第i个子模块的测量信息，Yi=TiY=TiCYX,Ti为子模块测量位置矩阵； {adj(i)}为与第i个子模块相邻接的子模块编号集合，这里即i-1和i+1；δi为常值权重系数。

对于式(5)、式(7)和式(8)所示的系统，采用式(13)所示的控制器，则整体结构的控制输入为

(14)

记K=diag(K1,K2,K2,…,K2,Kn)T,则式(14)可表示为

(15)

再结合式(5)和式(8)，可得到用于帆板振动控制的闭环方程，即

(16)

其中：

(17)

为了验证闭环系统的稳定性，选取如式(18)所示的Lyapunov函数

(18)

对V进行一阶求导，并根据式(16)则有

(19)

由于卡尔曼滤波估计是一种线性最小方差估计[28]，是一种无偏估计，即

XT(A+B2δCY-B2KP)X

(20)

‖A+B2δCY-B2KP‖<0

(21)

即

‖A+B2(δCY-KP)‖<0

根据矩阵范数的三角不等式性质和相容性，有

‖A+B2(δCY-KP)‖≤

‖A‖+‖B2(δCY-KP)‖≤

‖A‖+‖B2‖‖δ‖‖CY‖-

‖B2‖‖K‖‖P‖

若δ和K能满足

‖A‖+‖B2‖‖δ‖‖CY‖-

‖B2‖‖K‖‖P‖<0

即

(22)

由式(13)可知，每个控制器利用自身模块及相邻接模块的测量信息求解控制输入，既能实现子模块振动控制，还能通过联系交互使邻接子模块具有一致性，从而实现整个结构的振动控制。

3 数值仿真

将本文提出的分布式控制方法用于大型卫星太阳能帆板的振动控制，分别设计数值仿真算例，以验证分布式控制器的可行性、可扩展性和容错性。

3.1 大型卫星太阳能帆板结构分析

仿真设定帆板材料为纯铝板[29]，采用统一规格的组装单元，控制器和作动器等已集成在单元结构中，其几何、材料参数均相同，如表1所示；邻接单元之间布置如图4所示的6组主动作动器，每组2个作动器均关于x轴对称分布, 设置作动器只提供挠度方向的作用力；考虑传感器与作动器同位布置情况，即图4黑色节点位置状态量可测。

根据结构特点，划分6个沿悬臂板结构长度方向分布的控制子模块，每个子模块包括2个组装单元，长为10 m；每个子模块遵循克希霍夫薄板假设，划分8×4个有限元单元，整个板结构共有单元48×4个；单元为四节点板单元，共有节点245个， 每个节点有3个自由度： 挠度w、 绕x轴的转动θx、绕y轴的转动θy。结构阻尼比设为0.01，用于计算瑞利阻尼比例系数。

表1 大型卫星太阳能帆板的参数Table 1 Parameters of large satellite solar panel

图4 作动器与传感器布置位置(板长为60 m)Fig.4 Locations of actuators and sensors (length of panel is 60 m)

对帆板进行结构分析，其前25阶固有频率如表2所示。可以看出，结构的前20阶频率均低于1 Hz，且各阶频率间隔多处在10-2量级，结构明显具有基频低、模态密集的特点。

建立如式(2)所示的子模块动力学模型，将子模块动力学模型进行拼装得到如式(5)所示帆板结构整体的动力学模型，状态量X的维数为1 440×1。通过卡尔曼滤波状态估计以及LQR控制器设计，分别求解出定常滤波增益矩阵Kf、集中式LQR控制器K以及分布式LQR控制器Ki,各参数根据经验设定，如表3所示，其中：交互参数按测量点的3个自由度设定。经计算，K1的维数为2×420；K2的维数为2×630；K3的维数为2×450。根据设计参数得到式(16)表示的闭环系统方程，进行后续仿真验证。

表2 大型卫星太阳能帆板的前25阶固有频率

表3 集中式与分布式控制器参数

3.2 分布式振动控制可行性验证

给定大型卫星太阳能帆板初始变形如图5所示，右端自由端挠度范围为0.158 6～0.457 m，绕x轴的转动为0.059 7 rad；最后一个测点的变形挠度为0.103 9 m，绕x轴的转动为0.059 3 rad，绕y轴的转动为-0.005 5 rad，通过对比控制前后测量点的挠度w以及绕x轴的转动θx随时间t的变化情况，进行控制器的可行性验证，仿真结果如图6和图7所示。

图5 大型卫星太阳能帆板的初始变形(板长为60 m)Fig.5 Original shape of large satellite solar panel (length of panel is 60 m)

图6 控制前后测量点的挠度和θx曲线(板长为60 m)Fig.6 Deflection and θx curves of measured point before and after control (length of panel is 60 m)

图7中，集中式控制与分布式控制分别在15.76、19.90 s达到95%的振幅抑制效果，28.91、31.27 s达到95%的扭转变形恢复效果；在控制输入数量级相同的情况下，本文提出的分布式振动控制器使大型卫星太阳能帆板测量点的挠度w和绕x轴的转动θx在60 s后趋于稳定，可实现与集中式控制相当的振动抑制效果。但需要指出的是，分布式控制器的设计更为简单，各控制器可并行求解。如表4所示，在计算时间上集中式控制器K(维数为12×1 440) 求解用时66.72 s，分布式控制器K2(维数为2×630)用时7.42 s，计算效率提高了88.9%。

图7 集中控制和分布式控制的输入(板长为60 m)Fig.7 Centralized and distributed control inputs (length of panel is 60 m)

表4 集中式与分布式控制器计算时间

Table 4 Computation time of centralized and distributed controllers

控制器维数计算时间/s集中式控制器12×144066.72分布式控制器2×6307.42

3.3 分布式控制器扩展性验证

考虑大型卫星太阳能帆板结构再组装4个单元结构、长度由60 m增加至80 m的工况，依然忽略单元结构之间的连接部件，控制器、作动器等已集成在单元结构中，布置方式同3.1节。

首先，给定大型卫星太阳能帆板如图8所示的轴对称初始变形，右端自由端挠度范围为0.630 3～1.04 m，绕x轴的转动为0.081 9 rad；最后一个测量点的变形挠度为0.560 2 m，绕x轴的转动为0.081 5 rad，绕y轴的转动为-0.013 0 rad。结构扩展后，为抑制由初始变形引起的结构振动，集中式控制器K需要重新求解；分布式控制方案下由于控制器集成在单元结构中，可根据结构扩展特点将子模块个数由6个增加到8个，并行求解第6～8个子模块的控制器，其余控制器保持不变。表5给出结构扩展后控制器的求解时间对比，集中式控制器K(维数为16×1 920) 求解用时158.196 5 s，而分布式控制器K2(维数为2×630)求解用时与3.2节中相同为7.42 s。对比控制前后测量点的挠度w以及绕x轴的转动θx变化情况，仿真结果如图9所示。

从图9可知，在帆板结构组装扩展后，集中式控制与分布式控制达到95%的振幅抑制效果分别用时17.67、 21.00 s， 实现95%的扭转恢复分别用时24.63、 30.27 s；闭环控制后帆板在40 s后趋于稳定，说明针对扩展后具有初始变形的帆板结构，本文提出的子模块控制器直接扩展后依然可以实现与集中式控制器相当的振动抑制效果；而在计算效率(见表5)上， 相比于集中式控制器，分布式控制器的求解时间节约了95.3%，充分证明了其在大型模块化空间结构振动控制上独特的计算优势。

表5 结构扩展后集中式与分布式控制器计算时间

图8 大型卫星太阳能帆板的初始变形(板长为80 m)Fig.8 Original shape of large satellite solar panel (length of panel is 80 m)

图9 控制前后测量点的挠度和θx曲线(板长为80 m)Fig.9 Deflection and θx curves of measured point before and after control (length of panel is 80 m)

3.4 分布式控制器容错性校验

工程应用对控制器和作动器的容错性有较高要求，考虑到分布式控制方案有多个控制器，个别损坏或失效不会导致对应的作动器成为无用的作动器，可通过子模块之间的信息交互关联充分利用所有作动器来实现振动控制。

图10 分布式控制器部分失效后测量点的挠度和 θx的控制效果Fig.10 Performance of distributed control of deflection and θx of measured point when some controllers failed

以3.1和3.2节中初始变形后的60 m太阳能帆板为仿真对象(几何、材料参数如表1所示)，为便于对比失效前后控制输入的变化，根据3.2节给出的振动控制仿真结果，选择控制输出相对较大的子模块1、6控制器失效，失效形式为相应的Ki=0。为了说明控制器之间交互的作用，仿真中对比失效后有交互的分布式控制器与无交互的分布式控制器(即式(13)中δi=0)的控制效果。图10为分布式控制器部分失效后最后一个测量节点控制前后w和θx测量值变化曲线；图11给出相对应的分布式控制输入曲线。

图11显示，子模块1、6控制器同时失效后，分布式控制系统振动抑制效果逊于失效前，但依然能够实现结构的振动控制，容错品质良好。分布式控制器之间无交互的情况下，部分控制器失效后，对挠度幅值的抑制稍慢；从图11(b)中看出第1、6组失效控制器所对应的作动器输入为0，未参与到实际控制，造成一定的硬件资源浪费。相比之下，分布式控制器借助相邻子模块的信息交互，用时43.59 s实现95%的挠度振动抑制效果，47.03 s达到95%的扭转变形恢复效果，其控制效果明显优于无交互分布式控制系统(见图11(a))。

图11 子模块1、6控制器失效后交互和无交互分布式 控制输入Fig.11 Communicated and uncommunicated distributed control inputs when the 1st and 6th controller failed

4 结 论

1) 本文所提出的分布式振动控制系统通过子模块控制器的独立设计和相对测量值来实现大型卫星太阳能帆板整体结构的振动控制。分布式控制器可直接降低控制系统设计复杂度，计算效率明显高于集中式控制。

2) 分布式振动控制系统中各子模块控制器的可扩展性更适合于这种大型模块化空间结构的结构控制。

3) 分布式控制器表现出较好的容错性能，部分控制器失效后依然能够借助相邻子模块的信息交互实现结构的振动控制。

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