利用“放缩尺”原理,妙解一类路径问题

广东省深圳市坪山中学(518118) 李巧莉

江苏第二师范学院(210013) 章飞

北师大版数学九年级上册《图形的相似》中有一个有趣的例子：用一根中间打了结的橡皮筋将一个图形放大为原来的2倍!事实上,这根橡皮筋发挥的作用相当于一个最简易的“放缩尺”,其原理是三角形的相似.具体解释如下：

图1

[启示]

图2

利用这一结论,我们可以轻松地解决下面的问题.

例题1如图3,△ABC内接于⊙O,∠A=60°,⊙O半径为4,当点P在劣弧BC上由B点运动到C点时,弦AP的中点E运动的路径长为___.

图3

图4

解答连结OB、OC,得∠BOC=120°,

例题2如图5,已知AB=12,P是线段AB上的动点,分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边三角形ACP和等边三角形PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,点G运动的路径长为＿＿.

图5

图6

以上两题都是借助已知点的运动轨迹获知结果,其中图4中的AP与图6中的PE就像两把放缩尺,我们可以迅速由点P的运动路径得到相应点的运动路径,无论是例题1中的曲线,还是例题2中的线段,

[探究]

图7

图8

证明如图8,因为∠AOB=∠A1OB1,

所以∠BOB1=∠AOA1.

图9

我们用这个结论来解决一些路径中所谓的“难题”.

例题3如图10,有一个等腰直角三角形OPQ,点O与边长为1的正方形顶点O重合,顶点P在正方形的边AB上运动时,试探索点Q的运动路径形状及长度.

图10

拓展1如图11,当点P在此正方形的四周运动一圈时,动点Q的运动路径也会成为一个大正方形,长度为原正方形周长的倍,即.

图11

图12

[应用]

当我们在解决路径问题时,如果遇上这一类型时,就可以考虑这种图形变换的方式解决,迅速准确.

例题4如图13,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点B(-4,0),点P从点B处向点O运动,连结AP,并以AP为斜边作等腰直角三角形APQ.当点P运动到原点O处时,点Q运动的路径长为___.

图13

图14

分析这个问题满足,在运动过程中∠PAQ为定角,且PA/QA为定值,所以,点Q的运动路径与点P的运动路径形状相同,且长度为它的,因为点P的运动路径为OB,所以点Q的运动路径也是一条线段,又因为OB=4,所以点Q的运动路径长为.

变式如图14,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点B(-4,0),点P从点B处向点O运动,连结AP,并以AP为斜边作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时,点Q运动的路径长为____.

答案：4

[小结]

两个结论：

简言之,在“形状不变”的运动路径问题中,可以巧妙地借助以上结论迅速解决路径形状和长度的问题.