提炼习题核心本源 提升数学核心素养—例谈基于核心知识的数学习题讲评教学

浙江省元济高级中学(314300) 丁晨芳 姜巍

1.问题的提出

学科关键能力和学科核心素养是近期国家新课程标准修订中提出的最新概念,从“双基”到“三维目标”再到“学科关键能力和核心素养”反映了中国教育的发展与进步.那么该以什么样的教学路径和方法去养成学生的数学学科关键能力和核心素养,是我们一线教师需要与时俱进去考虑的一个问题.

在平时的教学反馈中,我发现两方面问题：(1)在针对学生解题错误的习题讲评教学中,课堂气氛沉闷,学生参与度不高;(2)学生在解决某些数学问题时会反复的犯错、“屡教不改”.而我对学生的解题错误原因进行调查后得到的回答通常是“算错了”、“计算粗心了”、“没见过一样的题型就不会做了”等等.这些浮于皮毛的原因并非关键,计算和题型只是数学知识应用的一种承载方式,通过它们承载的是一个庞大的数学体系和一类解决问题的思想方法,而支撑这个体系的是各种数学概念、定理和公式,即数学核心概念.如果学生对数学核心概念的理解和掌握不够透彻甚至是模糊的,那他就缺失解决数学问题的数学关键能力和数学素养,不能实现对数学知识的正确、巧妙应用,发生解题错误.

数学的学习是一个螺旋上升的过程,因此,在学生的学习发生错误的时候,如何讲评习题,为学生提供从意义建构到能力生成的学习环境,引导学生建立知识点之间的联系,构建自己的结构化知识网络系统,增强数学关键能力,进而提升数学核心素养是笔者时时思考的一个问题.下面笔者结合平时的教学经验谈谈在习题讲评课中深化学生对核心概念的理解与掌握,提高学生的数学关键能力,形成数学核心素养所做的探究和思考.

2.对核心概念和核心素养的理解

2.1 何谓数学核心概念?

数学概念是从现象、事实中抽象出来的理性知识,是数学问题构建的理论背景和基本材料.正确理解并灵活运用数学概念,是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.从一定意义上说,学生学习知识主要是掌握概念和由概念组成的系统,通过对概念的学习加深了客观事物之间的联系.数学核心概念是本源概念,是指以其反映的数学思想贯穿内容体系,或标志着其在整个内容体系中起着核心关键作用的一类概念.核心概念在整个高中数学的学习中起到一个统领、主导的作用.学生抓住核心概念就等于抓住了高中学习的命脉,学生掌握核心概念就等于掌握高中数学的根本.

2.2 何为数学核心素养?

王尚志、史宁中等专家根据教育部的研制计划,结合数学学科的特点,对数学核心素养给出了界定,即数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力,是数学课程目标和育人价值的集中体现,它是在数学学习过程中逐步实形成的.数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析共六个方面.参照数学素养的界定模型(PISA2012),笔者认为可以通过以下教学模型来培养数学核心素养(图1).

图1

图1 中阐述的可以是从一个生活实际问题出发,到问题解决的一个实际流程,一般的数学应用题的解决过程符合上述路径.然而,在数学的教学中不可能只讲应用题,从广义的角度来说建模也不一定是实际问题的模型建立,可以是数学问题本身的本质模型识别与建构,如何在不同问题中分离出共同的本质性的核心和实质特征,建构为熟悉的数学问题求解.在平时作业中学生发生错误的习题,可以重组建模处理,辅助学生提高数学能力和素养.

3.在课堂中养育学生的核心素养

3.1 当前数学“习题讲评课”教学中存在的不足

习题课是我们日常生活很常见的一种课型,它是根据学生近期学习中对于数学知识模糊、数学思维或者数学方法模糊的学情,特定安排的有针对性的解题教学课程,是学习中的重要环节.作为新授课的一种延伸,一节好的习题讲评课可以根据学生在平时作业练习中暴露的问题从学生思维的角度引导学生分析、探究问题,从根本上解决学生学习中的疑难点、困惑点,进一步巩固数学基础知识,让学生真正掌握、理解、应用知识,提升其数学学科关键能力和核心素养.通过分析学生在学习过程中存在的缺失,并结合观察教师在针对学生解题错误的数学习题讲评课课堂教学的实施情况,发现当前数学“讲评课”教学中存在以下不足：

3.1.1 忽视教学“核心概念”的提炼

习题课是对所学内容进行复现,巩固与内化的教学活动,同时,它又是一个有针对性地诊断教学.通过一定的复习,老师应解决一些学生混淆不清的知识,弥补一定的知识漏洞,并帮助他们建构起自身的知识体系.教师如果不分轻重,面面俱到,只要有错就讲解,重点不突出,学生在上完课后就会感觉纯粹是一节作业订正课.在此过程中教师对学生的解题错误盲目地、机械地进行反复的讲评和操练,却忽略了隐含在错误中的核心概念而没有进行教学内容重组,教学切入点不够精确,不能对症下药,不能很好地帮助学生理清知识间的联系、建构起自己的知识体系,从而无法突破学生学习的薄弱点和思维的拐点,更别提提高数学思维能力.

3.1.2 教学方式陈旧单一、缺乏吸引力

习题讲评课是复习课的一种,复习是对所学知识的复现,那势必会存在一定的重复,而重复教学却是教学中最忌讳的,因为学生生性好奇,他们热衷于新鲜的事物,一旦一样东西重复两次以上,他们就会感到索然无味,失去学习兴趣.很多数学习题讲评课都是围绕知识复习、作业和试卷错题讲评展开的,不能吸引学生参与其中,不能引起学生的学习共鸣,使学生游离在体验、感悟知识的发生、发展过程之外,导致学生对复习缺乏热情.

3.1.3 忽视学生学习能力不足,缺乏适当的引导

高中生的思维意识不够成熟,在数学学习中存在对题型死记硬背、机械学习的问题,没有去思考问题的本质、梳理知识体系,从而只会模仿不会变通,无法形成自己的数学思维能力.而教师在习题讲解的过程中,在学生站在突破问题的岔路口时,没有给予适当的引导,使得学生没有看透问题的核心本质,没有获得解决问题的关键能力,只能模仿,不会变通,进而无法提升数学核心素养.

3.2 提炼习题核心本源,提升学生核心素养

在数学学习的过程中,学生解题错误的出现在所难免,它是认知过程中必然的思想产物,也是学生思维上各种缺陷的真实暴露.如何利用学生“提供的错误资源”设计习题课,引导学生从根本上解决学习中的疑难点、困惑点,进而巩固知识,提高数学素养呢?

元认知理论认为学习的过程就是一个不断提高认知的过程,学习是认知结构的组织和重新组织,是一个积极主动并不断内化的过程.学生学习的过程是提高元认知能力的过程.教师可以基于学生的作业等学情反馈,对学生的错误资源分析、剖解、提炼出与问题本质相关的核心概念,遵从学生的实际学习需求,并以此为教学生长点为学生提供从意义建构到能力生成的学习环境,使得学生在明显的逻辑主线中能够充分经历学习的过程、知识获得的过程和方法得出的过程,以一种螺旋上升的方式深化学生对核心概念的本质的理解,理清问题表象下知识本质之间的密切联系,进而灵活应用数学概念,实现数学关键能力和核心素养的提升.

【案例】《运用数形结合思想解决复合函数零点个数问题》的习题讲评课教学

(1)创设情境――提炼核心本质

基于学生的认知水平,这个问题是很容易得出答案的,教师要做的是引导学生抽象出问题的核心本质——函数的概念.由此做如下的问题引领：

①如何由自变量3求出f(f(3))?

令u=f(x),y=f(u).

函数值f(f(3))产生的过程：

可逆的过程：

同理：

【设计意图】中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士认为数学根本上是玩概念,而不是玩技巧,所以对概念的清晰认识显得尤为重要.“函数”是高中数学的核心概念之一.借助问题(1)(2)(3)引导学生抽象出函数概念的本质：对应关系,培养学生的数学抽象与逻辑推理素养.借助问题(4)提炼数学思想：数形结合,培养学生的直观想象素养.

(2)建构数学——凝炼总结方法

结合例1的解题经验,学生应该有了相应的解题思路,教师要乘胜追击帮助学生进一步凝练问题的核心本质——函数的概念.由此做如下的问题引领：

①结合例1的解题经验,如何解方程f(f(x))=2?

②自变量与函数值之间的对应关系如何能够直观的呈现?

③你能够总结一下复合函数零点问题的解决方法吗?

【设计意图】数学概念是从现象、事实中抽象出来的理性知识,是数学问题构建的理论背景和基本材料,因此问题解决的关键,在于对问题中隐含的本质概念的掌握.以变式为背景,通过追问来展现学生的思维成果,解除小部分学生的困惑,启发学生共同思考,同时增强学生的应用意识,渗透建模思想,加深对核心概念及核心概念解读的必要性的理解.

(3)类比强化——增强应用意识

【设计意图】在解决问题的过程中,进一步感受将客观化的问题凝炼为函数核心概念——对应关系的思维过程,帮助学生固化、内化核心概念,学会识别问题的本质和处理方法.

(4)变式延伸——促其知识交汇

很多学生在遇到本题时一开始束手无策,读不懂题.造成困难的原因主要是加了“对任意给定的t∈(1,+∞),都存在唯一的x∈”这一条件,使得学生对题目的解读产生偏差,模糊了问题的核心本质.对学生来讲是全新的问题情境,要想突破此难点,关键在于如何引导学生拨开重重迷雾,识得卢山真面目,由此设计了以下问题：

①针对“对任意给定的t∈(1,+∞)”这一条件,t变化,导致什么在变化?

②令m=2a2t2+at,当实数m变化时,都存在唯一的x∈R满足方程f(f(x))=m,方程的根有几个?

③当实数m取值如何时,方程f(f(x))=m有唯一实数根?如何求解?

④对任意给定的t∈(1,+∞),m=2a2t2+at的取值已知,求正实数a的最小值是什么数学问题?

⑤2a2t2+at＞1,任意给定的t∈(1,+∞)恒成立,求正实数a的最小值.

【设计意图】通过问题串让学生感悟到一些复杂的客观表征下,隐含的是函数核心概念的对应关系,解决问题的关键是能够抽丝剥茧的去除一些非本质的特征,抓住问题的核心本质是解决问题的关键.同时让学生体会数形结合、等价转换、分类讨论思想在处理知识直接内在联系是发挥的作用,提高学生的数学素养、渗透数学思想.

(5)课外思考——深化概念理解

思考2f(x)=x|x-a|-2x,若对任意a∈(-2,4),关于x的方程f(x)=tf(a)总有3个不相等的实数根,求实数t的取值范围.

【设计意图】基于习题讲评课的课外思考,给予学生在学习基础上应用知识的机会,进一步深化概念理解、提升核心素养,同时也对学生的学习成果起到评价的作用.适当改变的题干,对知识有适当的延伸,使学生的思维水平不滞留在某一层面上,而且获得更大的发展空间.

4.总结语

数学素养是数学学科所固有的内蕴特征,是在数学学习活动中获得的、融于身心的一种品格和关键能力.教师在习题讲评课方面,可以结合学生的作业反馈,围绕问题的根本核心概念开展教学,以对一类问题的层层递进的研究为主线,在环环相扣的变式设计中,设置问题串,以问题引领学生清晰地识别深层知识的核心思想、不断深化对函数核心概念的理解,籍以发展学生超越客观问题的构想思维,促进其思想与感觉,观念与实体的统一,并有助于学生将学习结果内化并加以应用,不断的将学习过程引向更深、更有意义的方向,养成数学素养.