例谈数学青年教师专业发展突破瓶颈的有效途径

广东省东莞市大岭山中学(523820) 张全超

教师被定义为专业技术人员,因此自身的专业发展就是应有之义.大部分中学数学教师当年都从自己的高中或大学的数学教师那里学到了不少专业知识,因此执教中学时已有了相当的基础.笔者也不例外,在执教高中的前几年,啃着老本,讲着当年高中数学教师的方法.但慢慢发现,有时自己对某些知识仅仅是知其然,并没有做到知其所以然.于是,如何超越当年的老师、如何在自身专业发展之路上有所突破便成了笔者思考的问题.

一般来说,数学青年教师在专业发展道路上突破瓶颈的有效途径有：一、多钻研思考,产生内驱力;二、多订阅专业杂志,向书籍取经;三、多参加研讨会,向专家学习;四、多利用网络,借力信息技术.

一、多钻研思考,产生内驱力

由双根法[2],可令

再令(*)中的x=a,可得

由(x1-a)(x2-a)＞0,可知b2-k2a2＜0.再由(x1-a)+(x2-a)＞0可得2kma2＜0,从而x1+x2＞0,x1x2＞0.因此,由条件1能够得到条件2.

综上,条件1能够用条件2来代替,二者是等价的.

通过上面的分析,我们对“直线与双曲线的右支有两个不同交点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨设x2＞x1,且x1＞a)的充要条件”不仅做到了知其然(条件2能够代替条件1),而且做到了知其所以然(条件2与条件1等价).触类旁通,若直线与椭圆有两个不同交点,在联立直线与椭圆方程得到一个一元二次方程后,我们一般只强调Δ＞0,根据几何图形不需要去特别强调交点的横坐标或纵坐标的取值范围.

做到了知其然且知其所以然,就可以在应用相关知识解决问题时避免“负迁移”.

例1已知两点A(3,0),B(0,3),抛物线C的方程是y=-x2+mx+1,抛物线C与线段AB有且只有一个公共点,试求实数m的取值范围.

错解联立y=3-x与y=-x2+mx+1,消去y,化简得x2-(m+1)x+2=0.由Δ =0,得.

二、多订阅专业杂志,向书籍取经

书籍是人类进步的阶梯,数学专业杂志的内容大多是本学科最新的解题研究与发展动向等.数学青年教师多阅读专业杂志和书籍,能够开阔视野,不断自我充电,落实活到老学到老的终身学习理念.

例如,在前面直线与双曲线右支有两个不同的交点的问题中,对代数式(x1-a)(x2-a)的处理,常规的做法是展开后利用韦达定理,计算量较大.但如果利用双根法[2],就会几乎没有计算量.

例2(2014年辽宁卷 理10)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线l与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为___.

解法1(通法)易知p=4,抛物线C的方程为y2=8x.直线l的斜率显然存在,设为k,则直线l的方程为y-3=k(x+2).由于直线l与抛物线C相切,所以联立y-3=k(x+2)与y2=8x,消去y后化简得

本题也可以利用导数的几何意义来求解,计算量也较大.

文献[3]里有利用抛物线光学性质解题的例子,如法炮制,本题也可以利用抛物线光学性质巧妙解决.

解法2利用抛物线的光学性质：从焦点出发的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.

图1

解法2利用抛物线的光学性质,从几何角度发现AF⊥BF,“秒杀”该题.

三、多参加研讨会,向专家学习

分析本题的常规解法是对直线y=a(x-3)的斜率a进行分类讨论,较为繁琐.

有一次笔者参加高考备考研讨会,一位特级教师的发言中提到了该题,只不过他对该题轻描淡写：“该题是比较简单的”.他的的话引发了笔者的思考：本题用分类讨论的方法明明是较为繁琐的,为何却说该题是比较简单的呢?莫非还有其它妙解?事后,笔者借助网络发现：利用“线性规划中线性目标函数的最优解一定是在三线共点的地方”这个结论,可以有效避免分类讨论.

笔者在2016至2017学年参加了东莞市教研室组织的为期一年的高中数学青年教师培训班,从讲座的专家那里学到了很多宝贵的东西,在此表示感谢!2017年6月份笔者将参加在西安举行的东莞市骨干教师培训班,期望能学到更多的东西为教学服务.

四、多利用网络,借力信息技术

一个人大脑里储存的信息量再大,也不可能有网络储存的信息量大.遇到解决不了的问题,我们可以利用网络来搜索相关问题及答案.

例如,高中数学最早所接触的几个符号应该说是几个常用数集的符号,,和,其中N是英文中自然数natural number大写形式的首字母;是英文中商quotient(有理数可以写成两个整数的商的形式)大写形式的首字母;是英文中实数realnumber大写形式的首字母.整数在英文中为integer,其大写形式的首字母是,那么为什么整数集不用I来表示呢?笔者利用网络搜索发现,Z是德语中整数zahlen大写形式的首字母,用来表示整数集是为了纪念德国女数学家诺特在整环方面所做出的伟大贡献,她是第一个用来表示整数的人.

为了表示对诺特的纪念,笔者把人教A版《数学·必修1》第7页练习第3题的第(2)小题经过改头换面,在一次数学周测中命制了这样一道试题(答案为B,其中理想与整环有一定的关系)：

对于整数n,我们定义＜n＞={x|x=kn,k∈}为由整数n生成的理想.据此定义,理想＜3＞与＜6＞的关系为___.

A.＜3＞＞＜6＞B.＜3＞＜＜6＞

C.＜3＞=＜6＞D. 大小关系不确定

此外,网络上有很多教学视频我们可以观看.例如,笔者在观看腾讯教育高考频道蓝和平的讲座时发现,联立直线与抛物线方程时消去抛物线方程中的一次项比消去二次项计算量要小很多,于是我们可以改进例2中的解法1：联立y-3=k(x+2)与y2=8x时,

再比如,我们可以加入一些QQ群或微信群,向解题高手学习.

有的文献把像例4中函数f(x)的零点这样的零点称为隐性零点,隐性零点是近几年高考函数与导数压轴题的热点问题之一.

[1]张杨文.高考数学你真的掌握了吗(圆锥曲线)[M].北京：清华大学出版社,2014年8月.

[2]蓝云波.双根法是优化解析几何运算的又一利器[J].中学数学杂志,2015,9：30-32.

[3]兰琦.高中数学进阶教程[M].杭州：浙江大学出版社,2016年8月.