数学眼光看世界—《不等关系与不等式》课堂实录

2018-01-18浙江省宁波市鄞州区姜山中学315191李烽

中学数学研究(广东) 2017年24期

浙江省宁波市鄞州区姜山中学(315191) 李烽

这节课是笔者参加教坛新秀比赛时的参赛课,设计意图是通过故事化的情境引入,体验生活中的不等关系,点出用数学的眼光来看世界这样的一个主题,引领学生感受“数学是自然的,数学是有用的”这一基本理念.课后得到了评委老师的好评,本文将教学过程做一整理,以抛砖引玉,请各位专家同行指正.

一、教学分析

(一)教学目标

1知识与技能

(1)感受生活中的不等关系,掌握用不等式表示不等关系的方法.

(2)能从实际情境的不等关系中抽象出数学不等式模型,并学会用不等式基本定理来比较大小.

2过程与方法

(1)通过阿凡提羊圈面积大小的具体情境引入,建立数学模型研究不等关系,为进一步学习不等式性质,乃至运用数学研究生活问题奠定良好的基础.

(2)让学生在获得数学基础知识的同时,了解它们产生的背景、应用,使学生学会数学地思考问题,数学地解决问题,获得不同的数学情感体验.

3情感、态度与价值观

(1)让学生感受数学来源于生活,又应用于生活.体会数学的形成过程,培养学生热爱数学的良好品质.

(2)让学生知道数学是清楚的,也是有用的,数学的魅力在于用简单的符号和简练的语言表示较为复杂的生活问题.

(二)教学重难点

1重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,用不等式(组)研究含有不等关系的问题.

2难点：用不等式(组)正确表示不等关系;用数学的眼光来发现和研究生活中的数学现象.

二、教学实录

(一)创设情境,体验不等

课前准备：播放背景音乐《阿凡提新传》引入本课情境.

故事引入：巴依老爷家里有个40m×60m的矩形羊圈.阿凡提给巴依老爷放羊,羊越来越大,越来越多,羊圈装不下羊了.阿凡提建议巴依老爷扩大羊圈,可视财如命的巴依老爷不愿意多出做羊圈的栅栏,他让阿凡提自己想办法.聪明的阿凡提把羊圈改成了正方形,问题暂时解决了.阅读这个故事,同学们在钦佩阿凡提的同时,能否体会故事中所蕴含的相等和不等关系?

生1：羊圈的栅栏数不变,即扩建前后羊圈周长一定,但面积却有增加.

生2：矩形和正方形的周长都是200m,但羊圈的面积却从原来的2400m2增加到了2500m2.即长宽分别为60米和40米的矩形面积小于边长为50米的正方形面积.

师：回答地很好.阿凡提改变羊圈形状巧妙地解决了问题,让我们体验到等周长的矩形面积大小问题.其中的周长满足相等,面积表现为不等.等量与不等量关系是客观世界的基本数量关系,也是数学研究的重要内容.本课将从数学角度来探索和阐述现实世界中的不等关系.引出课题：数学眼光看世界——不等式关系与不等式.(板书)

设计意图阿凡提的故事,同学们耳熟能详,初中教材也曾用他来引入不等关系.老故事新说激发学生的兴趣,引出主题.

师：哲学家告诉我们：相等是相对的,而不等是绝对的.不等关系充斥着我们的世界,那么同学们能否举例说一说我们的身边还有那些不等关系呢?

生3：班级里同学的生日有前后,身高有高低,衣服有大小.

生4：气温有高有低,房子也有高矮,超市里商品价格各不相同······

师：不错,(打出视觉差距明显的图片)姚明和曾志伟的身高是不同的,胖与瘦的程度也是不同的,公路旁的限速牌提醒最高限速120km/h与最低限速60km/h表示不等关系,我国发射的嫦娥飞船奔月时的运行速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间也表示不等关系.

师：不等关系不但在我们的自然社会中无处不在,在诗词文化中也常能见到它们的身影.如：横看成岭侧成峰,远近高低各不同.停车坐爱枫林晚,霜叶红于二月花.桃花潭水深千尺,不及汪伦送我情······请同学们欣赏以上古诗词,你能体会每一句古诗中蕴涵的不等关系吗?这样的不等关系又是通过哪些词来得以体现的?

生5：第一句是讲各个角度看山景,景色各不相同,通过“不同”来体现;第二句是将枫叶与二月之花进行比较,通过“红于”来体现;第三句是将桃花潭的深度与朋友间的友情进行比较,通过“不及”来体现.

师：概括地非常好,这三个词语反映出了事物间的不等关系.那么刚才老师提到的最高限速120km/h与最低限速60km/h的不等关系你能找到合适的词来反映吗?

众生：不超过120km/h与不低于60km/h.

师：这里的不超过与不低于对应数学符号“≤”和“≥”,它们是由英国数学家哈里奥特(T.Harriot)于1631年开始使用.并逐渐被现代数学界接受成为一种标准应用符号.除此之外还有“＜”“＞”“/=”,用这些不等号连接起来表示不等关系的式子称为不等式.同学们能用不等式来表示以下不等关系么?

今天的天气预报说：明天早晨最低温度为2°C,明天白天的最高温度为12°C;

三角形ABC的两边之和大于第三边.

生6：用t来表示明天的气温,则有：2°C≤t≤12°C.

生 7：AB+AC＞BC.

设计意图从自然与人文两个角度感受不等关系处处存在,以数学史为过渡,尝试用数学语言表示不等关系,生活问题数学化.

(二)学生活动,建模不等

师：同学们已初步掌握用数学语言来表示生活中的不等关系.在课初的阿凡提羊圈问题中我们是基于2500大于2400这一事实而做出直观的判断：周长200m的矩形中正方形的面积大.并可通过不同数据进行验证,那能不能从数学角度来证明这个问题的正确性?

众生：可以,只要设定长宽,进行图形面积的差值比较······

师：很好,一般地,两实数的大小可通过作差来比较.我们称之为不等式基本定理：

师：请同学们自己在草稿纸上设立相应的数据背景,解决问题,而后进行交流展示,议一议你对这个猜想的解决方法.

师：所以不难得到S1＜S2⇔S2＞S1,称之为不等式的对称性.

生10：设矩形周长为2L,长为x,则面积

师：不错哦,同学们还发现了不等关系在函数最值中的应用.若过了一段时间,正方形羊圈依旧不够用了,你能给阿凡提出出主意.并从数学角度分析你的理由吗?

众生：改成圆形······

师：能从数学角度分析你的理由吗?

······短暂的演算后

师：很好!我们刚刚验证了生活中等周长前提下三类图形面积的大小问题,从研究中不难得到一种传递的事实：

称之为不等式的传递性.

设计意图说一说,做一做,议一议,在学生活动中实现不等式基本性质的自然生成.

(三)类比链接,濡化不等

师：老师这里还有几个疑问,疑问一：正方形羊圈依旧不够用了,是不是非得改成圆形呢?如正五边形、正六边形是否可以?等周长的平面图形中是不是圆形的面积最大呢?

生：······(陷入沉思)在周长一定的前提下它们的面积应该有大小.

师：这个问题解决起来有一定的难度,可以通过小组合作讨论,上网查阅相关的资料的方式做成一份探究课题.

师：疑问二：平面图形面积大小的结论是否能类比到立体图形(空间几何体)呢?

短暂的沉默后,个别同学小声回答：球体的体积应该能实现最大化.

师：球体体积的最大化应该以什么为前提?

生12：可以猜想：等表面积的立体图形中,长方体的体积＜立方体体积＜球形的体积.

师：疑问三：大家都吃过苹果、桔子,为什么自然界中很多水果外形为近似球体?

众生：等表面积的空间几何体中,球形的体积最大.

师：自然是最好的老师,同学们在生活中处处留心,相信能有更多地发现.数学无处不在!这里关于水果外形为球体的原因老师事先问了“度娘”,她是这么跟我说的······

知识链接：植物学家告诉我······,原来,水果把自己长成“圆”的,是为了最大限度地“缩小”自己的外表.从外表“缩小”自己,那是一种内心的智慧和强大.

设计意图数学来自生活的体验,在知识的自然生成中蕴含着数学哲理,鼓励同学用数学的眼光看世界.

(四)小结归纳,收获不等

师：请同学来谈一谈这节课的收获与体会······

生13：这节课我们研究了不同形状的平面图形面积大小关系,并将它类比到空间几何体的体积大小问题.自然界的大部分果实形状给了我们最好的解答.

生14：这节课我们学习了生活中的不等关系,并用不等式来反应不等关系,用数学的方法来研究生活中的不等问题.

生15：在证明的过程中我们要设立恰当的数学数据背景,通过作差比较的方法来得到相应量的大小,不等式基本定理是我们解决不等问题的基本出发点.

生16：数学来源于生活的发现,我们的生活的环境中充斥着数学,做一个有心人,勤思善问,用所学的数学知识去发现问题的本质,从而更好地运用数学指导生活实践.

师：归纳得很好!数学来源于生活,不等关系更多的是从具体情景中抽象出来的,这是重要的数学建模意识;数学是清楚的,也是有用的,数学的魅力在于用简单的符号和简练的语言表示较为复杂的问题.从不等关系产生的背景、形成、应用中,我们可以清楚地看出它与其他知识的联系,符号化的观念要根植于我们心中.老师用一首打油诗概括本节课的内容：等与不等关系,数学建模联系;比差等价转化,看看谁与高低.