“让学生爱上数学,探究数学本质”—对一节同课异构课《抛物线的简单几何性质》的反思

广东省中山市桂山中学(528463) 佘海艳

一、引言

为提高教师专业发展水平,促进教师的交流,中山市部分中学数学老师们一起走进美丽的广东省阳江市两阳中学,参加了由广东省教育厅、阳江市教育局主办的《南粤名师大讲堂—走进阳江》系列活动.吴老师首先提出他的观点：“让学生爱上数学,探究数学本质,和数学谈一场恋爱,而不是让学生讨厌数学,成为‘题奴’.”希望各位老师注重培养学生数学价值观,培养学生对数学学科的立场、观念的心理倾向和认识,特别是认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值,感受到数学的独特之美.

接下来,吴老师与两阳中学的某位老师现场上了一堂课：《抛物线的简单几何性质》.两位老师以同课异构的教学形式,将审美观赏、激发智慧、课堂机智、应用操作等方面一应俱全地呈现给听课老师们.课堂精彩纷呈,掌声不断,让老师们体会了教学之美,体会了两位教师的不同风采.吴新华校长从学生学过的内容进行类比,注重引导学生发挥数学智慧,用不同的方法解决问题并总结出通用方法,给学生和老师们展示了数学的独特魅力.

二、课堂观察,课例评析

第一堂课,老师首先复习上节课所学的抛物线的方程,让学生主动将下面的表格补充完整.

表1

这节课主要采用小组合作的教学方法,教师提问：类比椭圆、双曲线的几何性质,抛物线又会有怎样的几何性质?小组讨论后解决以下问题.

1.范围 因为p＞0,由方程y2=2px(p＞0)这条抛物线上任意一点M的坐标(x,y)满足等式.所以这条抛物线在y轴的____侧;当x的值增大时,|y|也____,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,它开口___.

2.对称性 以-y代y,方程y2=2px(p＞0)不变,因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形,抛物线的对称轴叫做抛物线的___.

3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的____.在方程y2=2px(p＞0)中,当y=0时,x=0,因此这条抛物线的顶点就是____.

4.离心率 抛物线上的点与焦点和准线的距离的比,叫做抛物线的____,用e表示,按照抛物线的定义,e=____.

学生分组合作交流,讨论,得出结论后汇报成果,进行展示,然后集中探索.教师注重鼓励学生,多引导学生间进行合作交流,培养合作学习的意识,体验成功带来的喜悦.着重培养学生分析、归纳等能力.

接下来小组探究两个例题及其变式题,让学生掌握几何性质的应用：

例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的标准方程.

例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.

学生独立思考,找一名学生板书,师生共同纠错,形成结论,学生试述,教师补充强调.老师主要采用了合作探究的方法,充分发挥了学生的主动性.

第二堂课,吴老师主要采用讲练结合,启发式教学,引导学生类比探究得出抛物线的几何性质并学习求焦点弦弦长的一些通用方法.首先,通过复习引入：

师：前几节课我们都学习了哪几种圆锥曲线?

生：我们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线.

师：我们是怎么研究圆锥曲线的呢?

生：根据他们的标准方程,得到了它们的简单几何性质.

师：上一节课,我们学习了抛物线的定义和标准方程,本节课,我们根据抛物线的标准方程来探索它的几何性质.

设计意图：通过类比前面所学的椭圆和双曲线,来得到抛物线的性质,来激发学生的学习兴趣,使学生快速进入课堂.

然后吴老师直奔主题,进行新课讲授：

师：请同学们,类比椭圆和双曲线,以y2=2px(p＞0)为例,观察它的图像,探索抛物线的简单几何性质,它的主要性质如下：

(1)范围：x≥0,y∈R

(2)对称性：关于x轴对称

(3)顶点：坐标原点(0,0)

(4)离心率：e=1

师：请同学们思考能说抛物线是双曲线的一支吗?

生：不能,有性质得离心率不同,双曲线的离心率e＞1,而抛物线的离心率为1,所以不能说抛物线是双曲线的一支.

师：非常漂亮,你能自己思考得出不同曲线性质的本质区别吗?

师生活动：教师让学生类比椭圆和双曲线的简单几何性质的推导方法,结合抛物线y2=2px(p＞0)的图像,利用方程自己推导抛物线的几何性质.

学生类比椭圆和双曲线自己思考抛物线自己推导几何性质,每一条几何性质由一名学生代表回答推导的结论.

教师对学生的回答补充、完善,引导学生总结研究曲线性质的一般方法.

设计意图：把问题留给学生,让学生自主探索解决,培养学生独立思考、自主学习的习惯,树立学习的信心.

师：现在我们知道了y2=2px(p＞0)的几何性质,那么其他三种标准性质y2=-2px(p＞0),x2=2py(p＞0),x2=-2py(p＞0)有哪些几何性质呢?

师生活动：教师以x2=-2py(p＞0)为例,让学生研究其几何性质,检验学生掌握的情况,点评总结学生的回答.

学生自己独立思考、推导,一名学生回答.

设计意图：培养学生对类比思想的运用,发展学生的创新能力.

师：请同学们在同一坐标系中画出下列抛物线的草图,观察抛物线的图像有何特点：

结论：抛物线标准方程中的P越大,开口越开阔.

由图像对比,学生和教师共同小结：

(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线;

(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

(3)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;

(4)抛物线的离心率是确定的,为1.

师：探究问题1：确定抛物线的方程需要几个条件呢?

生：顶点坐标,焦点坐标或准线方程,已知其中两个即可用待定系数法求出方程.

师：探究问题2：若一条直线和抛物线相较于A、B两点,若AB垂直于抛物线的轴,它的长度为多少?你有几种方法得到?

生：可以利用两点间距离公式或者抛物线的几何定义得出,长度为2P.

师：拓展通径的定义：通过焦点且垂直对称轴的直线与抛物线相交于两点,连接这两点的线段叫抛物线的通径.

例1已知抛物线关于x轴对称,他的顶点在坐标原点,并且经过点,求方程.

解因为抛物线关于x轴对称,他的顶点在原点,并且经过点,所以可设他的标准方程为y2=2px(p≥0),因为点M在抛物线上,所以,即p=2,因此所求方程是y2=4x.

变式训练：已知抛物线关于坐标轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过,求它的标准方程.

抛物线的轴对学生的理解影响重大,通过变式让学生注意到题干的细微区别对解题的影响,培养学生严谨的数学思维习惯.

例2如图1,斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.

先让学生思考,类比求通径长度的方法,如果AB不垂直于x轴,如何求弦长呢?

下面由学生代表展示他的方法：

图1

解法1 如图所示,由抛物线的标准方程可知,焦点F(1,0),准线方程x=-1.

由题可知,直线AB的方程为y=x-1

代入抛物线方程y2=4x,整理得：x2-6x+1=0

即A、B的坐标分别为

解法1直接计算两点坐标,可以发现计算量较大,请学生继续思考还有什么方法.

解法2 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=1

所以

解法2利用了韦达定理,设而不求,代入弦长公式,可以练习一般弦长的求法.

解法3 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义可知,|AF|等于点A到准线x=-1的距离|AA′|,即|AF|=|AA′|=x1+1,同理|BF|=|BB′|=x2+1

所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8.

这种解法巧妙地利用了抛物线的定义,转化了长度.

解法4 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为点A、B在抛物线上,

两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),

所以1·(y1+y2)=4.

所以x1+x2-2=4,

所以x1-x2=6,

所以|AB|=x1+x2+P=6+2=8.

这样,利用抛物线的对称性,非常巧妙地得到弦长.

解法5 设A(x,y),在三角形AFH中,如图2所示,因为AH=FH=x-1,所以y=x-1,代入抛物线方程得(x-1)2=4x,

图2

所以AB=AF+BF=8

通过这种解法,进一步拓展,启发学生发现规律,自己总结如下结论：

一般地,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=2px(p≥0)的焦点,与抛物线相交于A、B,求线段AB的长.

解 由题意可知,

进一步引导学生探究：若已知的是直线的斜率,该如何计算呢?

生：可以由斜率和倾斜角的公式,求出倾斜角的正弦值,代入上面的公式.

师：很好,请同学们自己试着求出来.

生：因为k=tanα

最后让学生自主进行课堂小结,充分发挥学生的主体性,既培养了学生的概括能力,又能营造民主和谐的师生关系.本节课主要学习了以下内容和方法：

(1)抛物线的简单几何性质;

(2)待定系数法求抛物线方程;

(3)焦点弦的性质与弦长;

(4)数形结合、类比、转化思想的应用.

三、总结反思

这节课,吴老师突出教学重点,让学生建构正确完整的知识体系,掌握数学的通性通法,学会自己由特殊探究一般,更深刻地理解了数学本质.教学过程中及时对学生进行形成性的评价,激励了学生学习的主动性.比如,通过作图实践得出P对抛物线开口的影响并引导学生找出2P的几何意义.用例1引导学生用所学知识解决实践问题,鼓励学生用所学的抛物线的几何性质去求抛物线的标准方程,通过例2,多角度引导学生思考,理解焦点弦的求法.教师将问题引出来,让学生去思考,去感悟数学本质,举一反三,一石激起千层浪,学生在轻松和谐的氛围里不断闪现出思维的火花.