类比诚可贵 探究价更高

王兴凯

[摘 要] 通过函数图像上点的横、纵坐标中一个变化而另一个不变化来实现图像间的转换；把与函数有关的问题在学生的认知水平和“最近发展区”上进行适度拓展，以满足学生的学习和成长需求，不断提升其思维品质与数学素养.

[关键词] 函数；图像变换；数学思想；解法探索

试题呈现

（2016年南京市中考数学第27题）如图1，把函数y=x的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图像；也可以把函数y=x的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图像. 类似地，我们可以认识其他函数.

启示与思考

回首整个探究过程，发现每一个同名函数之间看似并不相干，其实完全可以通过探究它们彼此之间的系数关系，运用坐标变化实现其图像间的互相转换. 看似一道普通的试题，通過不断地思考，其内涵竟是如此的丰富多彩，可挖掘、探究之处甚多，将初中阶段所涉及的一次函数、反比例函数和二次函数等知识内容串联在了一起. 由此对我们的数学教学引出深层的思考和启示.

1. 重视审题能力的训练与培养

本题属于一道“即时学习”型试题，要求学生在考试中即学即用，旨在考查学生的审题能力和即时学习能力以及分析问题和解决问题的能力. 试题立足于初中数学的核心知识之一——函数及其图像与性质，通过一道题打通三年函数的学习，将一次函数、反比例函数、二次函数有机结合起来. 按照学生学习这几种函数知识的先后顺序并结合函数的图像与性质，首先给出一个正比例函数图像变化到另一个正比例函数图像的具体方法，然后让学生现学现用. 其中第（1）问可以直接应用到反比例函数图像的变化上，让学生通过理解新知解决问题；第（2）问则需结合曾经学过的二次函数图像的平移规律，而将新知进一步升华，以让学生初步感知：在研究和解决有关函数图像的问题时，通过平移和图像上点的坐标的变化来实现函数图像的变换；第（3）问可谓画龙点睛之笔，只有学生对新知理解透彻才能解决. 这就要求教师在平时教学中要加强学生审题能力的培养，加强对函数变化中最本质要素的理解与思考，关注每一类函数之间最为本质和必然的联系. 要引导学生在日常数学探究活动中不断积累活动经验，注重探索每一种同名函数之间的转换规律以及解决此类问题的基本思路，点坐标的变化可以引起函数图像开口大小、图像位置以及其他要素的变化；学生在活动中要多体会、感悟和总结，多用数学的眼光观察，用数学的思维分析，用数学的语言表达. 教师还要注重解题过程的规范化训练和指导，帮助学生不断学会有条理地思考和表达.

审题是解决数学问题的关键环节，要求学生字斟句酌，细读精研，文图结合. 这一点诚然很重要，但笔者认为这只是某种意义上局部的小审题，更多时候要求学生跳出局部的小题，纵观全题，总揽全局，努力揣摩命题意图，寻找解题思维上的相似性和延续性，体会整体把控与感知小题之间的联系和拓展，往往就会有“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的感觉.

2. 重视思想方法的渗透与应用

如果把具体的数学知识比作一座大厦，那么数学思想方法无疑就是大厦的基石、承重墙和框架. 一道试题犹如一篇美文，总会有一个升华的主题思想，只有对试题有足够的理解和把握才能挖掘出这一思想和方法，这一点在平时的课堂训练中需要多加关注. 如本题和后续问题再探中多次运用到数形结合的思想、类比和转化的思想，这就需要在平时的教学中讲解透彻. 本题多次运用横、纵坐标中某一个量变化，另一个不变化来实现图像位置和形状的改变，从而达到图像间的转换，这是多题一解的求同思维；而题首材料再析、原题的3个问题、问题再探中问题1和问题3还可进行一题多解的求异思维训练. 当下，学生普遍擅长求同思维而忽视求异思维，所以在教学中要加强求异思维的训练，同时我们更应注重相关数学思想方法的渗透与培养.

3. 重视数学知识的迁移与拓展

进行函数问题的研究时，在具体数学知识内容的教学上，既要重视教材又不拘泥于教材，在教材现有知识呈现的基础上，还要将函数问题中表达式、图像与性质以及图形变换的相关规律相互渗透、有机整合和适度拓展. 要从学生的实际需要出发，使学习内容在更为现实和广阔的背景上获得充实、深化和提升，要在深度和广度上培养学生的问题意识、探究激情和思维品质，更好地掌握和运用数学知识之间的本质规律和内在联系以及解决问题的经验和方法，以便极大地满足学生的学习需要和成长需求.

此外，教师还应有针对性地选择典型问题，有效引导学生对问题进行变式探究与挖掘推广，这样不仅有助于学生系统灵活地掌握课本提供的函数知识，还有助于提升学生的学习兴趣和探究动力，也有助于培植学生思维的发散性、灵活性、敏捷性和广阔性. 同时教师还要对典型习题进行多方位、多角度的演变、拓展、延伸和迁移，帮助学生跳出题海，触类旁通，使学生达到解一题、会一类、通一片、得一法，进而真正提升学生的问题意识、思维品质、解题技能和核心素养.