全概率公式与概率加法定理的关系

郝晓燕

【摘要】求概率问题是概率论中的一个基础而重要内容，而对所求事件的分析是求概率问题的难点，能够准确分析所求概率的事件对解决求概率问题起着非常关键的作用，而全概率公式是概率论中的重点和难点内容，其难主要是难在学生往往不知道什么时候用全概率公式，即对全概率公式的使用条件模糊不清，判断不准，经常与概率加法定理混淆.本文在给出全概率公式和概率加法定理的基础上，分析全概率公式和概率加法定理的使用条件，进一步澄清二者的关系.

【关键词】全概率公式；概率加法定理；互斥

一、基础知识

（一）求概率的基本步骤

1.审清题意，搞清关系；

2.明确所求概率的事件，并将其设作A；

3.分析事件A：

（ⅰ）事件A不可以再分，只能把它看作单个事件来分析，考虑用古典定义或者是考慮用全概率公式来求.如果用古典定义来求，必须明确样本空间是什么，以及样本空间中的基本事件总数与所求事件所包含的事件数；如果用全概率公式来求，就要确定互不相容的完备事件组是什么，再用全概率公式进行计算.

（ⅱ）事件A的发生意味着几个事件都发生，此时该事件可以表示成某些个事件的交事件，再进一步分析这些事件是否相互独立.如果独立，就可以利用独立事件的交事件的概率等于这些事件的概率的乘积；如果不独立，这些事件的交事件就需要用概率乘法定理计算.

（ⅲ）事件A的发生意味着几个事件中至少有一个事件发生，此时该事件可以表示某些个事件的并，再进一步分析这些事件是否互斥，即是否可以同时发生.如果互斥，就可以利用互斥事件并事件的概率等于这些事件概率之和来求；如果不互斥，这些事件的并事件的概率就需要用概率加法定理计算.

（ⅳ）条件概率，使用条件概率的计算公式即可计算.

4.计算各个事件的概率进而得出所求事件的概率；

5.作答.

（二）全概率公式和概率加法定理

1.概率加法定理[1]：

（三）全概率公式和概率加法定理的使用条件

1.概率加法定理的使用条件：当所求概率的事件是两个或者多个事件中至少有一个事件发生，此时就用概率加法定理进行求解.

2.全概率公式的使用条件：两次试验概型，即所求概率的事件与两次试验有关，第一次试验的结果直接影响第二次试验发生某事件的可能性大小.

【参考文献】

[1]沈恒范.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]盛聚，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001.endprint