抽样分布及典型问题分析

王莲花,黄源涛

(1.北京物资学院 信息学院，北京 101149；2.School of East Asian Studies, University of Sheffield, Sheffield S10 2TD, England)

抽样分布及典型问题分析

王莲花1,黄源涛2

(1.北京物资学院 信息学院，北京 101149；2.School of East Asian Studies, University of Sheffield, Sheffield S10 2TD, England)

以三大抽样分布为基础，从确定统计量的参数、判断统计量的分布、证明统计量的分布及极限分布4种类型出发，选择典型问题进行分析，以此引导学生深刻理解常用抽样分布的定义，熟练掌握其用法，为后续课程学习及考研奠定良好的基础.

正态分布；抽样分布；统计量；极限分布

统计学中泛称统计量的分布为抽样分布[1]. 在使用统计量进行统计推断时常需要知道统计量的分布. 特别地，当总体服从正态分布时，常用的三大抽样分布在统计推断中起着非常重要的作用.但是，因受学时和其他条件的限制，教师课堂上一般对抽样分布的定义详讲，而结合问题帮助学生理解定义的例子略讲，导致学生概念与问题不能有效对接，面对问题显得束手无策. 鉴于三大抽样分布及考研的重要性，本文以三大抽样分布为基础，参阅相关考研和其他资料，对其典型问题及相关考研问题进行归纳分类，以便与同行切磋学习，促进概率论与数理统计课程教学的进一步提升.

1 三大抽样分布及相关定理

1.1χ2分布、t分布和F分布[2]

注：1)由定义知，n个服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n的χ2分布.

注：当自由度n→时，t分布的极限分布是标准正态分布.

1.2 正态总体的样本均值与样本方差的分布

2 典型问题分析

2.1 确定统计量中的参数

问题已知统计量的分布，求其中的未知参数.

解决方法根据统计量的分布，再结合样本的分布及抽样分布的定义，确定统计量中的参数.

例11)设样本X1,X2,…,X6来自总体N(0,1)，且

Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,

试确定常数C使CY服从χ2分布;

(2).

(3).

2.2 判断统计量的分布

问题已知来自正态总体的简单随机样本，判定统计量服从何种分布.

解决方法根据抽样分布的定义，把未知统计量凑成三大抽样分布的典型模式，以此判定该统计量服从的分布.

这类问题在考研中通常以选择题的形式出现.下面的例2、例3和例4分别是2012年、2014年和2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题的选择题.

(A)N(0,1) (B)t(1) (C)χ2(1) (D)F(1,1)

解因为X1,X2,X3,X4是来自总体N(1,σ2) (σ>0)的简单随机样本，且

故选B.

(A)F(1,1) (B)F(2,1) (C)t(1) (D)t(2)

2.3 证明统计量的分布

问题已知来自正态总体X的简单随机样本，证明未知统计量服从某种分布.

解决方法根据抽样分布的定义，先把未知统计量凑成三大抽样分布的典型模式，再以此证明该统计量服从的分布.

例5设X1,X2,…,X10是来自正态总体X的简单随机样本，

证明统计量T服从自由度为8的t分布.

类似地可以推广证明出如下结论：

服从自由度为n-1的t分布.

证明1)由独立正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，易知

作为独立标准正态随机变量的平方和

服从自由度为9的χ2分布，并且随机变量U与χ2显然相互独立.

又

因此，由t分布随机变量的典型模式，知随机变量Y1服从自由度为9的t分布.

分别是自由度为10和5的χ2分布，且相互独立.由F分布随机变量的典型模式，知

服从自由度为(10 , 5)的F分布.

2.4 证明统计量的极限分布

问题已知某随机变量服从二项分布，证明统计量的极限分布.

解决方法根据随机变量X～b(n,p)，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，知当n充分大时，X近似服从正态分布N(np,np(1-p))，最后根据抽样分布的典型模式，证明统计量服从的分布.

证明作为n次伯努利试验成功的次数，X～b(n,p)，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，知当n充分大时X近似服从正态分布N(np,np(1-p))，令

例8假设一试验总共有两种不同结果A1和A2，其概率相应为p1和p2，其中p1+p2=1(0

证明由于p1+p2=1,X1+X2=n，可见(X1-np1)2=(X2-np2)2，从而

由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时，Un近似地服从标准正态分布，从而统计量K近似服从自由度为1的χ2分布.

[1] 龙永红. 概率论与数理统计[M].2版.北京：高等教育出版社，2004:132

[2] 盛骤，谢式千，潘承毅. 概率论与数理统计 [M].4版.北京：高等教育出版社，2008:147.

[3] 中国考研网.2012年全国研究生入学统一考试数学三试题[EB/OL].[2017-08-20].http://www.chinakaoyan.com/info/article/id/18551.shtml.

[4] 新东方考研网.2014年全国研究生入学统一考试数学三试题[EB/OL]. [2017-08-20].http://kaoyan.koolearn.com/20131227/801315_3.html.

[5] 中国教育网.2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题[EB/OL]. [2017-08-20]. http://kaoyan.eol.cn/shiti/shuxue/201612/t20161225_1478946.shtml.

[6] 肖马成，周概容. 线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析[M].北京：高等教育出版社，2008：443.

SamplingDistributionandAnalysisofTypicalProblems

WANG Lianhua1， HUANG Yuantao2

(1.CollegeofInformation,BeijingWuziUniversity,Beijing101149,China； 2.SchoolofEastAsianStudies,UniversityofSheffield,SheffieldS10 2TD,England)

On the basis of the three kinds of sampling distribution, selecting four types of determination of the statistic parameters, judgement of the statistic distribution, proof of statistic distribution and distribution of limit, the typical problems were analyzed. And guide students to understand the definition of the sampling distribution, master its usage, and construct the good foundation for subsequent course of study and postgraduate examination.

normal distribution; sampling distribution; statistics; limiting distribution

2017-08-29

北京市高创计划教学名师(G02040011)

王莲花(1964—)，女，河南宁陵人，北京物资学院信息学院教授，主要研究方向：概率统计.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.04.011

O211.3

A

1007-0834(2017)04-0046-05