关于强T-拟凸函数的几点注记

胡 芳

(武汉生物工程学院 计算机与信息工程系,湖北 武汉 430415)

关于强T-拟凸函数的几点注记

胡 芳

(武汉生物工程学院 计算机与信息工程系,湖北 武汉 430415)

主要讨论了强T-拟凸函数的判定方法，得到某些新的结论，推广了文献中的主要结论.

拟凸函数；T-拟凸函数;强T-拟凸函数

0 引言

T-拟凸函数是一类非常重要的广义凸函数，已有大量的文献对此进行了研究.2007年，宁刚在文献[1]中讨论了T-凸函数与T-拟凸函数的等价条件；2009年，钟超瑾给出了T-凸集上的函数的半连续性与T-拟凸性之间的关系[2]；2011年，韦丽兰等人在文献[3]中讨论了在上(下)半连续的假设条件下，T-凸函数与T-拟凸函数的等价条件。随着凸性研究的深入，T-拟凸函数，强T-拟凸函数及严格T-拟凸函数越来越成为更加重要的广义凸函数，然而，对于强T-拟凸函数的研究非常有限.本文主要讨论强T-拟凸函数的判定方法，得到了某些新的结论，推广了文献中的主要结论.

1 定义

定义1[1]设D⊂Rn，f是定义在D上的n元实值函数，若存在映射T:Rn→Rn使得D为T-凸集，且对∀x,y∈D，及任意实数λ∈[0,1]，恒有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]≤max{f(T(x)),f(T(y))},

(1)

则称f是D上的T-拟凸函数.如果-f是D上的T-拟凸函数，则称f是D上的T-拟凹函数.

定义2[4]设D⊂Rn，f是定义在D上的n元实值函数，映射T:Rn→Rn使得D为T-凸集且T(D)为凸集，若对∀x,y∈D，x≠y，以及任意实数λ∈[0,1]，有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(2)

则称f是D上的强T-拟凸函数.

定义3[4]设D⊂Rn，f是定义在D上的n元实值函数，映射T:Rn→Rn使得D为T-凸集且T(D)为凸集，对∀x,y∈D，f(T(x))≠f(T(y))，以及任意实数λ∈[0,1]，有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(3)

则称f是D上的严格T-拟凸函数.

2 主要结论

引理[2]设D⊂Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定义在D上的n元实值下半连续函数,且存在λ∈(0,1)使得

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]≤max{f(T(x)),f(T(y)),∀x,y∈D},

(4)

则f是D上的T-拟凸函数.

定理1设D⊂Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定义在D上的n元实值下半连续函数,则f是D上的强T-拟凸函数的充要条件是对于∀x,y∈D,x≠y,存在λ∈(0,1),λ依赖x,y，使得

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(5)

证明1)(充分条件)显然成立.

2)(必要条件)反证法.假设f不是强T-拟凸函数，则∃x1,x2∈D,x1≠x2及 ∂0∈(0,1),有

f[∂0T(x1)+(1-∂0)T(x2)]≥max{f(T(x1)),f(T(x2))},

(6)

由假设及条件，可根据引理知f是D上的T-拟凸函数，即有

f[∂0T(x1)+(1-∂0)T(x2)]≤max{f(T(x1)),f(T(x2))},

(7)

由(6)、(7)可知

f[∂0T(x1)+(1-∂0)T(x2)]=max{f(T(x1)),f(T(x2))},

(8)

不妨设f(T(x1))≥f(T(x2)),令T(z)=∂0T(x1)+(1-∂0)T(x2).

a)若f(T(x2))>f(T(x1)),则(8)可简化为

f(T(z))=max{f(T(x1)),f(T(x2))}=f(T(x2))>f(T(x1)),

(9)

对z,x2，由条件可得，存在λ0∈(0,1)，有

f[λ0T(z)+(1-λ0)T(x2)]

(10)

记(T(z),T(x2))={λT(z)+(1-λ)T(x2)|λ∈(0,1)},又由D是T-凸集且T(D)是凸集，则存在z1,使得T(z1)=λ0T(z)+(1-λ0)T(x2)，显然，T(z1)∈(T(z),T(x2)),则(10)可简化为

f(T(z1))

(11)

显然，T(z)∈(T(x1),T(z1)).又,f是D上的T-拟凸函数，对x1,z1，∀λ∈(0,1)，有

f(T(z))=f(λT(x1)+(1-λ)T(z1))≤max{f(T(x1)),f(T(z1))},

(12)

由(9)、(11)、(12)可知矛盾，故假设不成立.

b)若f(T(x2))=f(T(x1)),(8)式化简为

f(T(z))=max{f(T(x1)),f(T(x2))}=f(T(x1))=f(T(x2)),

(13)

对x1,z用条件知,∃λ1∈(0,1)有

f(λ1T(x1)+(1-λ1)T(z))

(14)

对x2,z用条件知,∃λ2∈(0,1)有

f(λ2T(x2)+(1-λ2)T(z))

(15)

令T(y1)=λ1T(x1)+(1-λ1)T(z),T(y2)=λ2T(x2)+(1-λ2)T(z)，则T(z)∈(T(y1),T(y2)).

结合(13)式，化简(14), (15)分别为

f(T(y1))

(16)

f(T(y2))

(17)

又,f是D上的T-拟凸函数，对y1,y2，∀λ∈(0,1)，有

f(T(z))≤max{f(T(y1)),f(T(y2))},

(18)

显然(16), (17), (18)式矛盾.

综上所述，假设不成立,即定理的必要条件成立.

推论1设D⊂Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定义在D上的n元实值下半连续函数, 若存在λ∈(0,1),对于∀x,y∈D,x≠y,有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(19)

则f是D上的强T-拟凸函数.

推论2设D⊂Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定义在D上的T-拟凸函数, 若对∀x,y∈D,x≠y，当f(T(x))=f(T(y))时，∃λ∈(0,1)，有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(20)

则f是D上的强T-拟凸函数.

定理2设D⊂Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定义在D上的严格T-拟凸函数, 且对∀x,y∈D,x≠y，当f(T(x))=f(T(y))时， ∃λ∈(0,1)，有

f[λT(x)+(1-λ)T(y)]

(21)

则f是D上的强T-拟凸函数.

证明反证法. 设f不是D上的强T-拟凸函数，则∃x1,x2∈D，x1≠x2，λ1∈(0,1)，使得

f[λ1T(x1)+(1-λ1)T(x2)]≥max{f(T(x1)),f(T(x2))}，

(22)

D是T-凸集且T(D)是凸集，则∃z0∈D，使得T(z0)=λ1T(x1)+(1-λ1)T(x2)，则有

f(T(z0))≥max{f(T(x1)),f(T(x2))}.

(23)

1)若f(T(x1))>f(T(x2)),由f是定义在D上的严格T-拟凸函数，对于x1,x2∈D，λ1∈(0,1),有

f[λ1T(x1)+(1-λ1)T(x2)]

(24)

即f(T(z0))

2)若f(T(x1))=f(T(x2))，由条件可知，∃λ0∈(0,1)，使得

f[λ0T(x1)+(1-λ0)T(x2)]

(25)

D是T-凸集且T(D)是凸集，则∃z1∈D，使得T(z1)=λ0T(x1)+(1-λ0)T(x2).

(25)式化简为

f(T(z1))

(26)

T(z1)≠T(z2),则T(z1)∈(T(x1),T(z0))或T(z1)∈(T(z0),T(x2)).

若T(z1)∈(T(x1),T(z0))，则T(z0)∈(T(z1),T(x2)).

由f(T(z1))≠f(T(x2))，又f是严格T-拟凸函数，对于z1,x2∈D，有

f(T(z0))

(27)

与(23)式矛盾.

若T(z1)∈(T(z0),T(x2))，则T(z0)∈(T(x1),T(z1)).

由f(T(x1))≠f(T(z1)),又f是严格T-拟凸函数，对于z1,x1∈D，有

f(T(z0))

(28)

与(23)式矛盾.

综上所述，假设不成立.

定理3设D⊂Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T-凸集且T(D)是凸集，f是定义在D上的T-拟凸函数, ∃∂0∈(0,1)对∀x,y∈D,当x≠y时，有

f[∂0T(x)+(1-∂0)T(y)]

(29)

则f是D上的强T-拟凸函数.

证明假设f不是D上的强T-拟凸函数.∃x,y∈D，λ0∈(0,1)，虽有x≠y，但

f[λ0T(x)+(1-λ0)T(y)]≥max{f(T(x)),f(T(y))}.

(30)

令T(z)=λ0T(x)+(1-λ0)T(y),(30)式简化为

f(T(z))≥max{f(T(x)),f(T(y))}.

(31)

由f是定义在D上的T-拟凸函数，则∀x,y∈D，均有

f(T(z))≤max{f(T(x)),f(T(y))},

(32)

由(31)，(32)可知

f(T(z))=max{f(T(x)),f(T(y))}.

(33)

(34)

(35)

(36)

由(34), (35), (36)可知

f(T(z))

(37)

显然(37)和(33)矛盾,则假设不成立.

[1] 宁刚.E-凸函数的若干性质[J]. 运筹学学报，2007,11(1):121-126.

[2] 钟超瑾.E-凸集上的函数的半连续性与E-拟凸性[J]. 广东教育学院学报，2009，29(3):48-51.

[3] 韦丽兰,黄雪燕.E-凸函数和E-拟凸函数的等价条件[J].数学的实践与认识，2011,41(15):191-197.

[4] 邢志栋，王双虎. 拟凸函数的一个充分条件[J]. 纯粹数学与应用数学，1990,2(6)：76-79.

SomeNotesonStrongT-QuasiConvexFunction

HU Fang

(DepartmentofComputerandInformationEngineering,WuhanInstituteofBioengineering,Wuhan430415,China)

Mainly discusses the determination method of strongT-quasi convex function, and obtains some new conclusions, and generalizes the main conclusions in the literatures.

quasi-convex function;T-quasi-convex function; strongT-quasi convex function

2017-08-03

胡 芳(1984—)，女，湖北武汉人，武汉生物工程学院计算机与信息工程系副教授，主要研究方向：高等数学教学、凸分析.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.04.005

O13

A

1007-0834(2017)04-0022-03