欧拉函数方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))的正整数解

袁合才， 宋倩倩， 贾媛媛

(华北水利水电大学 数学与统计学院，河南 郑州 450046)

欧拉函数方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))的正整数解

袁合才， 宋倩倩， 贾媛媛

(华北水利水电大学 数学与统计学院，河南 郑州 450046)

讨论了欧拉函数方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))，其中a,b为不小于2的正整数.利用初等数论方法，得到该方程所有234组正整数解.

欧拉函数；丢番图方程；正整数解

设φ(n)为欧拉函数，其值为在1,2,…,n-1中与n互素的正整数的个数.近年来，含有欧拉函数φ(n)的丢番图方程吸引了国内外越来越多学者的关注.1960年，MAKOWSKI[1]研究了方程φ(m+k)=φ(m)+φ(k)，得出结论：对于任意k，方程φ(m+k)=2φ(n)至少有一个解；BROWKIN[1]证明了若k=3，则方程φ(m+k)=φ(m)+φ(k)没有正整数解x<37 182 142.2000年EL-KASSAR[2]研究了方程kφ(n)=φ(n+1)及方程kφ(n+1)=φ(n)的整数解.对于欧拉函数方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))，2010年孙翠芳等[3]研究了当k为素数时方程的可解性问题，给出了当k=2时该方程的全部正整数解；最近,文献[4-9]分别得到了当k=4,5,6,7,8,9时该方程的全部正整数解.本文将研究欧拉函数方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))当k=15时的可解性问题，利用初等数论方法给出了该方程的所有正整数解.

1 若干引理

引理3当n≥2时，有φ(n)

2 主要结论及其证明

定理1欧拉函数方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))共有234组正整数解，即为下述正整数解及其对称形式：

(17,241),(17,287),(17,305),(17,325)，(17,369)，(17,385)，(17,429)，(17，465)，(17，482)，

(17，488)，(17，495)，(17,496)，(17，525)，(17,572)，(17,574)，(17,610),(17,616)，(17,620)，

(17，650)，(17，700)，(17，732)，(17，744),(17,770)，(17，792)，(17,858),(17,900),(17,924),

(17,930),(17,990),(17,1 050),(32,241)，(32,287)，(32,305),(32，325)，(32，369)，(32，385)，

(32,429)，(32，465)，(32,495)，(32,525)，(34，241)，(34，287)，(34，305)，(34，369)，(34,385)，

(34，429)，(34，465)，(34，495)，(34，525)，(40,241)，(40,287)，(40，369)，(40，429)，(48，241)，

(48，287)，(48,305)，(48，325)，(48，385)，(60,241)，(60，287)，(16,286),(16,310),(16,350),

(16,366)，(16,450)，(16,462)，(20,286),(20,366),(20,462)，(24,286)，(24,350),(30,244),

(30,248),(30,286)，(30,308)，(22,62)，(26,44)，(26,50),(26,66),(28,50)，(28,66)，

(36,50),(42,44),(42,50),(21,93),(21,99),(21,186),(21,198)，(36,93)，(42,93)，

(42,99),(16,244),(16,308),(16,372),(16,396)，(20,244)，(20,308)，(20,372)，(20,396),

(20,248),(24,244)，(24,308),(28,44),(36,44),(40,65),(40,105),(60,65),(60,105)，

(35,45)，(35,90)，(45,70)，(16,248)，(24,248)，(36,99)，(20,70),(20,90)，(30,70).

证明考虑欧拉函数方程

φ(ab)=15(φ(a)+φ(b)),

(1)

φ(a)=q1φ(d)，φ(b)=q2φ(d)，

由引理2

(2)

由(1)、(2)式整理得

φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))=15(q1φ(d)+q2φ(d))=dq1q2φ(d) ，

即

(3)

又d=1,φ(d)=1，得

又由gcd(a,b)=d=1，可得此时方程(1)的正整数解为

(17,241),(17,287),(17,305),(17,325)，(17,369)，(17,385)，(17,429)，(17，465)，(17，482)，

(17，488)，(17，495)，(17,496)，(17，525)，(17,572),(17,574),(17,610),(17,616)，(17,620)，

(17，650)，(17，700)，(17，732)，(17，744)，(17,770)，(17，792)，(17,858),(17,900),(17,924),

(17,930),(17,990),(17,1 050),(32,241)，(32,287)，(32，305)，(32，325)，(32，369)，(32，385)，

(32,429)，(32，465)，(32,495)，(32,525)，(34，241)，(34，287)，(34，305)，(34，369)，(34,385)，

(34，429)，(34，465)，(34，495)，(34，525)，(40,241)，(40,287)，(40，369)，(40，429)，(48，241)，

(48，287)，(48,305)，(48，325)，(48，385)，(60,241)，(60，287).

又d=2,φ(d)=1，得

又由gcd(a,b)=d=2，可得此时方程(1)的正整数解为

(16,286),(16,310),(16,350),(16,366),(16,450)，(16,462),(20,286),(20,366),(20,462)，

(24,286)，(24,350),(30,244),(30,248),(30,286),(30,308),(22,62),(26,44),(26,50),

(26,66),(28,50),(28,66),(36,50),(42,44),(42,50).

又由

gcd(a,b)=d=3，可得此时方程(1)的正整数解(21,93),(21,99),(21,186),(21,198)，(36,93)，(42,93)，(42,99).

又由gcd(a,b)=d=4，可得此时方程(1)的正整数解(16,244),(16,308),(16,372),(16,396),(20,244),(20,308),(20,372),(20,396),(20,248),(24,244)(24,308),(28,44),(36,44).

又由gcd(a,b)=d=5，可得此时方程(1)的正整数解(40,65),(40,105),(60,65),(60,105)，(35,45)，(35,90)，(45,70).

又由gcd(a,b)=d=6，此时方程(1)无正整数解.

又由gcd(a,b)=d=8，此时方程(1)正整数解(16,248),(24,248).

又由gcd(a,b)=d=9，此时方程(1)正整数解(36,99).

又由gcd(a,b)=d=10,此时方程(1)正整数解(20,70),(20,90),(30,70).

又由gcd(a,b)=d=15,此时方程(1)无正整数解.

又由gcd(a,b)=d=16,此时方程(1)无正整数解.

又由gcd(a,b)=d=20,此时方程(1)无正整数解.

综合上述讨论并根据欧拉函数方程(1)的解的对称形式可知，方程(1)共有234组正整数解.

[1] GUY R． Unsolved Problems in Number Theory[M]．3rd ED.Beijing：Science Press，2004．

[2] EL-KASSAR. On the equationskφ(n)=φ(n+1) andkφ(n+1)=φ(n)[C]//Number theory and related topics. Seoul:Yonsei University Institute of Mathematics Science, 2000:95-109.

[3] 孙翠芳，程智． Some kind of equation involving Euler function[J].Journal of Mathematical Study，2010，43(4) :364-369．

[4] 张四保.有关Euler函数φ(n)的方程的正整数解[J].数学的实践与认识，2014，44(20)：302-305.

[5] 孙树东.一个与Euler函数φ(n)有关的方程的正整数解[J].北华大学学报(自然科学版),2015，16(2)：161-164.

[6] 管春梅，张四保.与Euler函数φ(n)有关的方程的两个方程[J].数学的实践与认识，2016，46(9)：221-225.

[7] 鲁伟阳，高丽，王曦浛．有关Euler函数φ(n)的方程的可解性问题[J]．江西科学，2016,34(1)：15-16．

[8] 郭瑞，赵西卿，张利霞，等.关于欧拉函数方程φ(mn)=3k(φ(m)+φ(n))的正整数解[J].江西科学，2016，34(2):154-157.

[9] 张四保，席小忠．有关方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整数解[J]．南京师大学报(自然科学版)，2016,39(1):41-47.

PositiveIntegerSolutionsofEulerFunctionEquationφ(ab)=15(φ(a)+φ(b))

YUAN Hecai， SONG Qianqian， JIA Yuanyuan

(SchoolofMathematicsandStatistics,NorthChinaUniversityofWaterResourceandElectricPower,Zhengzhou450046,China)

Discussed the positive integer solutions of Euler function equationφ(ab)=15(φ(a)+φ(b))， wherea,bare positive integers not less than 2. By using the method of elementary number theory, we obtained a total of 234 positive integer solutions.

Euler function; Diophantine equation; positive integer solutions

2017-08-30

华北水利水电大学创新创业项目

袁合才(1978—)，男，河南兰考人，华北水利水电大学数学与统计学院副教授，主要研究方向：微分方程数学建模、丢番图方程.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.04.001

O156

A

1007-0834(2017)04-0001-05