规律探索教学与思维可视化

戚洪祥

（江苏省盐城市第一小学，江苏盐城 224001）

规律探索教学与思维可视化

戚洪祥

（江苏省盐城市第一小学，江苏盐城 224001）

在数学教学中，如何将学生的操作经验转化为思维成果，如何让学生的思维在可视化媒介的帮助下，一步一步走向深入，让数学中的规律成为深度学习的载体，让学生的深度学习真实发生。通过《钉子板上的多边形》两次不同的教学重构，以学生为本、以规律可用、思维可视为主要方向，尝试建构规律，探索教学的一般步骤。

规律；思维；可视化

引 言

在数学发展的历史长河中，任何一个定理、公式的发现或发明都会经历反复的验证过程。其中有许多都是通过不完全归纳法进行大量的事实验证，再通过严格的数学证明确认其正确性。在小学数学中，许多数学结论虽不需要严格的证明，但也需要让学生经历“初步构建—发现不足—继承完善—再次构建—验证结论”的完整过程，这样的过程对学生来说是终身受益的。

2013年新修订的苏教版教材五年级下册《钉子板上的多边形》，属于教材设置的一个专题活动。教材的编写意图是让学生在一系列探索过程中，通过观察、比较、猜想、验证等方法，得出格点多边形的面积与格点之间的关系。其数学本质是：奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积。这一发现，在数学界又称为皮克定理。

如何利用这一载体，让学生在有限的课堂中，经历一次规律的从无到有，从有到优的过程；经历一次思维的由浅入深，由模糊到清晰，再到可视的过程，经历一次数学发现的完整过程呢？对此，笔者做了两次教学尝试，有了不一样的发现。

一、第一次教学尝试

1.探究活动：初步尝试，初建规律

师出示教材中第一组图形，让学生独立尝试，填表。

图形编号 多边形的面积 多边形边上的钉子数①2 4②3 6③3.5 7④4 8

学生经过小组讨论，交流汇报很快得出：多边形面积=多边形边上钉子数的一半。如果用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那么S=n÷2。（师板书）

师再次引导学生观察这组图形有什么特征？生观察后得出：图形内都只有1枚钉子。

2.探究活动：尝试变化，完善规律

小组合作，先在钉子板上任意围出3个内部有2枚钉子的不同多边形，再完成下表（教材表2）。

多边形的面积①2②2③2图形编号 多边形内的钉子数多边形边上的钉子数

学生经过小组合作、观察、比较、交流之后，进行全班汇报。

师：同学们，有哪几个小组有了自己的发现，请小组长带着你们的发现，到前面来与大家分享一下。（全班6个小组，有3个小组有了发现）

第二小组：我们发现，多边形的面积不等于边上钉子数的一半了，而是一半多1。

第三小组：我们小组的发现和第二小组是一样的。

第六小组：我们也一样。

师：老师想采访一下，没有发现这个规律的另外三个小组，你们有什么想说的吗？

第一小组：我们组也发现了这个规律。

师：你们发现了，但是没有来得及上来。

第四小组：我们组画的三个图形中，有一个图形画错了，里面围成了3个钉子了。

师：那另外两个内部没有两个钉子的图形，符合这样的规律吗？

第四小组：符合。

第五小组：我们组围了一个这样的图形，这个面积我们按照不满整格当作半格数的方法，数出的面积是3，就感觉不对了。

师：我们一起来看看这个小组围的这个图形的面积到底是多少呢？

……

3.探究活动：动手操作，验证规律

学生自由围图形，验证规律的正确性。……

4.反思

二、第二次教学尝试

1.探究活动一

活动要求：在钉子板上任意围一个图形，利用自己的方法得出图形的面积。

学生展示自己围的图形，并汇报计算面积的方法：数方格，公式计算。

师任意展示几个同学所围的图形，要求学生观察：这些图形有什么特点？这些图形面积的大小与什么有关？

师生讨论交流得到：所有的图形顶点都在钉子上，我们把这样的图形称为钉子板上的多边形（板书课题：钉子板上的多边形）；多边形的面积与内部钉子数和边上的钉子数有关（板书：面积，内部钉子数，边上钉子数）。

师：在数学研究中，要想研究三个数量之间的关系，一般我们先确定其中的一个数量的大小，再去研究其余两个数量的关系。比如，同学们围的这些图形中，有许多的图形内部钉子数都为1，那么我们就先从内部只有一个钉子的图形开始研究。

2.探究活动二

活动要求：第一，小组成员独自在钉子板上任意围一个多边形，使得这个多边形的内部只有一个钉子。第二，数一数，这个多边形边上有多少个钉子？第三，计算这个图形的面积？第四，把结果汇总到组长的统计表中（见表1）。第五，小组合作，观察表内的数据，你发现了什么？把你们的发现在小组内说一说。

表1

每个小组合作探究，并相互交流。

不同的成因对物质组成和结构产生不同的影响，成分和结构又影响土的物理力学性质。红粘土作为特殊土，并且在贵州省分布范围广泛，是贵州主要城市所在地分布的主要土类，与当地人们生活密切相关，在对红粘土有关问题进行研究时要注意它复杂而有别于其他土类的特殊性的成因，从其所具有的特殊性的本质了解红粘土有助于工程实践应用。

汇报各小组的探究情况，并得出：当内部钉子数为1的时候，面积=边上的钉子数÷2，或者说边上的钉子数=面积×2。

师：如果我们用字母S表示面积，n表示边上的钉子数，a表示内部的钉子数，它们的关系可以表示为：当a=1时，S=n÷2。

3.探究活动三

师：刚才我们是研究了内部钉子数不变，边上钉子数各不相同时，面积与边上的钉子数之间的关系。如果在刚才的研究基础上，让边上的钉子数不变，内部的钉子数在原来1个的基础上发生变化，又会怎么样呢？

师：请同学们观察刚才围的图形，思考这样一个问题：如何在原有的图形基础上，保证边上的钉子数不发生变化的基础上，快速地让内部钉子数由1变成2？

生独立操作，并相互交流，得出：将某一边向外拉动，即可。

请同学们带着这样的发现，继续下面的探究活动。

活动要求：

第一，小组成员独自将原来围的图形，进行变化，确保边上钉子数不发生变化，所得到的图形内部有2个钉子。

第二，观察得到的图形，想一想现在的面积又是多少？比原来多了多少？

第三，把你的发现在小组内说一说。

生汇报：面积比原来多1。

师小结：当内部钉子数a=2时，面积S在原来的基础上多了1，也就是=n÷2＋1。

4.探究活动四

师：那么当内部钉子数为3、4或者更多的时候，面积S在最初的基础上又会发生怎样的变化呢？请同学们继续研究。

活动要求：

第一，小组成员在确保边上的钉子数不发生变化的基础上，将图形内部孤钉子数变为3、4或者更多，将得到的面积与内部为一个钉子数时的面积进行比较。

第二，把你的发现有序地汇总到组长的表格中。

第三，观察表格中的数据，你发现了什么？

内部钉子数 面积与“n÷2”相比增加了面积S

生汇报，投影展示表格中的数据。

内部钉子数a 面积与“n÷2”相比增加了面积S 3 2 S=n÷2+2 4 3 S=n÷2+3 5 S=n÷2+4 6 5 S=n÷2+5 4

师生交流得出：S=S=n÷2+a-1。

5.探究活动五

师：对于这样的发现，是不是对所有的钉子板上的多边形都有用呢？请同学们自己独立操作，在钉子板上任意围一个多边形，并把相关数据填写在小组的表格中，验证这个规律是否正确。

成员编号 边上钉子数n内部钉子数a面积S 是否符合规律①②

生汇报验证结果。并交流：a=0，即内部没有钉子数的情况。

续表

6.全课总结

师：今天这节课，老师和同学们一起研究了“钉子板上的多边形面积”（补充板书：面积）。我们通过从特殊到一般的方法，发现了规律，并验证了规律的正确性。其实这正是许多数学家们在研究数学时所用的方法。今天的这个发现，就是数学上著名的皮克定理（Pick），它是由奥地利数学家皮克发现的，《格点与面积》这本书就是专门介绍这一知识的，有兴趣的同学可以在网络上或书籍中了解皮克定理。

三、教后反思

1.高频操作，提高思维训练的可视性

“皮克定理”的专题教学与许多专题教学有类似之处：旨在探索一些数学规律，其数学思维性较强，操作机会与数学活动课相比较少。如何让学生拥有更多的操作机会，让学生在动手又动脑的过程中发现规律，这是备课时遇到的较大难题。在第一次教学尝试之后，笔者发现学生的动手不够，便立即将教学的第一着眼点放到高频、有序的操作活动，尝试建构了“五次动手操作”，让高频率的动手操作贯穿整个教学过程，让学生的智慧在其指尖跳跃，让学生的思维可视度提高。

2.问题驱动，体现探究过程的思维性

规律性知识的本身是静态的，是死的，只有其探究过程的思维性才能赋予它灵魂，如果在教学中只将结论呈现给学生，侧重于对结论的应用，就将导致学生的思维仅停留在简单的模仿阶段。教学的第二着眼点在于：知识发现、获取的过程，通过每个“活动要求”中问题的精心设计，通过问题驱动整个探究过程，让探究过程时刻闪现思维的火花。

3.步步为营，彰显数学发现的层次性

著名数学家波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径是学生自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律和联系。”如何让“皮克定理”的发现过程彰显层次性，让学生在一步一步探索活动中，逐渐接近数学本质，这是本课的另一着眼点。在教学中，通过层次鲜明的五次探究活动，从表及里，从特殊到一般，从固定到任意，让学生充分感受数学发现的层次性、逻辑性，感受数学的严谨。

[1]刘濯源.思维可视化：减负增效的新支点[J].中小学管理，2014（6）.

[2]叶新东.未来课堂环境下的可视化教学研究[D].上海：华东师范大学，2014.

[3]朱东妮.提升小学生数学学科素养的探析[J].基础教育研究，2016（2）.

[4]彭钱群.提升小学生数学素养的策略[J].教育观察，2014（12）.

戚洪祥，1980年生，男，江苏盐城人，现任江苏省盐城市第一小学教育集团督导室主任，江苏省首批教学名师，江苏省333工程高层次人才培养对象，中学高级教师。