巧借向量转化，优解直线与圆

高中原

[摘  要] 涉及向量的直线与圆的综合问题是高中的常考题型，对于该类问题要从向量的几何意义入手，利用向量的坐标运算，将其转化为较为简洁的代数问题，本文将结合实例简要讲解运用向量特性及坐标运算的解题技巧，以期对学生的学习备考有所帮助.

[关键词] 直线;圆;向量;几何意义;运算;坐标

直线与圆的综合问题是高考的重点题型，有时会涉及较为特殊的向量知识，因向量的几何和代数的双重特性，使得解法呈现灵活性、多样性、创造性，同时也造成了学生难于发现题目的隐含条件，无法找到解题的突破口.

真题解析，解法评析

1. 真题呈现

（2017全国卷Ⅲ理数）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）求证：坐标原点O在圆M上;

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.

2. 试题解析

3. 解法评析

本题目为直线与圆的综合问题，主要考查学生利用几何知识解决综合问题的能力. 上述解题过程中都利用了向量的几何意义，用向量来表示直线的垂直关系，然后通过向量的坐标运算，从中提炼解题的关键条件，将几何问题转化为了代数问题，达到了简化解题的目的. 通过向量来解决解析几何是一种十分有效的解题方式，特别是涉及向量的直线与圆的问题，可充分利用向量的几何意义来转化问题，然后通过向量代数运算的便捷性来转化问题条件，从而打开解决问题的突破口.

巧借向量，转化条件

向量具有代数的特性，向量坐标可进行代数运算. 在解题时可以利用向量的代数运算和坐标运算来重组条件，例如已知某向量关系，可利用该方法建立起向量坐标的关系，以此作为解题的突破口.

（2016江苏高考数学卷）如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）.

上述题目给出了某向量的加法关系，在解题时充分利用该关系建立起向量坐标的关系式，从而将问题转化为在已知坐标关系求解参数值，将较为形象的几何问题代数化，方法巧妙，过程简洁.

活用向量，建立联系

有些几何问题涉及向量积的相关知识，此时可以考虑借助向量积的几何意义，通过向量运算来转化问题，使其变为与条件相关的量，然后通过向量的坐标运算来分析结论. 这种方式可以建立条件与结论之间的数量关系，从而帮助有效分析问题.

分析向量积与角度的关系，借助向量的几何意义实现问题的转化，正是合理地运用向量的坐标运算，建立起相關参数与已知条件的直接关系，从而达到解题的目的. 向量是连接数与形的纽带，向量转化及坐标运算是解决问题的关键.

总之，求解涉及向量的圆与直线的综合问题，要充分利用向量的几何特性，实现条件和结论的有效转化，借助向量的坐标运算实现几何问题代数化. 向量是维系几何与代数的特殊纽带，是建立条件与结论联系性的有效工具，在学习使用向量时，要充分了解向量的几何意义，掌握向量运算法则，合理利用向量，准确求解难题.