内容下移：数学教学一种可能的方向

杨锋

[摘  要] 布鲁纳曾说任何知识都可以一定方式教给任何年龄段的儿童，这句教育名言，在高中数学教学中得到了体现. 原本应当作为大学高等数学中的导数内容，已在高中阶段走过了十个年头. 导数教学的成功，给我们高中数学教学带来了一定的启示. 高中数学教学可以用一定方式教给学生“上层”的数学内容，以帮助高中学生开拓解题视野，发展数学素养，并对未来学习高等数学做基础工作.

[关键词] 内容下移;教学方向;教学反思;导数

早些年读美国大教育家布鲁纳的《教育过程》一书时，对于他书中提出“任何知识都可以一定方式教给任何年龄段的儿童”相当不理解. 怎么可能让一个小孩能理解函数甚至是微积分的知识呢？直到高中数学中有导数这一章节后，通过教学笔者终于明白，布鲁纳所谓的“任何知识可以教给任何年龄段的儿童”这句话的关键在于“以一定的方式”. 通过对高中导数教学过程的反思，我们提出内容下移：数学教学的一种可行方向.

内容下移：源自于导数教学成功推行的启示

导数内容原本是作为高等数学中的重要内容，供大学阶段数学学习使用，然而随着数学教学的发展，它逐步下移作为高中阶段数学内容. 它的下移，为我们对高等数学中的其他数学知识进行下移教学提供了启示.

虽然导数这部分内容自上世纪末就已经出现在高中数学教材中了，但当时导数部分仅是学生自学阅读的材料，而不作为高考的考点. 所以在这段时间中，只能算作导数下移的尝试阶段. 直至2008年开始，导数正式奠定其高考必考知识点的地位，才算导数下移教学真正实施阶段.高等数学中对导数的定义是“设函数y=f（x）在点x0的某个领域内有定义，若自变量在x0处取增量Δx时，y取对应增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）;按照高等数学知识逻辑，导数的讲解是必须建立在极限概念的基础上. 然而，极限概念的完整定义对于高中学生而言，显然不在他们的最近发展区内. 这并不意味着在高中阶段就不能进行导数的下移教学，十年的教学历程，充分表明高中阶段的学生完全有能力接受导数的内容. 只不过我们并不是以高等数学中的极限作为导数教学的切入口，而是用学生生活中经常遇到的平均变化率为跳板，向瞬时变化率过渡，逐步地向学生展示了导数的本质. 其实，在由平均变化率向瞬时变化率过渡的过程中所用逼近思想就是一种具有通俗意义的、能够直观观察到的极限，也许这样的教学安排，淡化了所谓定义的严密性，但它并没有背离导数原有的意义，而是一种直观和通俗的，能够让学生理解讲法表达导数的本质.

这或许就印证了布鲁纳所说的那句名言“任何知识都能以一定的方式去教给任何年龄段的学生.”恰恰也是十年导数教学的成功，给我们数学教学带来了启示. 高等数学中的那些种种复杂的内容是否都能换一种面貌与高中的学生“见面”呢？这些能够换个面貌与高中学生见面的数学知识是否有没有必要都讲呢？以布鲁纳的教育理论为依据，我们认为高等数学中的很多复杂数学内容都可以用一定的形式来讲给高中学生，但由于高中数学内容有其固有的范围限制，所以我们所选取的“上层”数学内容应当以能够服务高中数学的学习为依据.

案例枚举：数学课堂中常见“内容下移”教学

高中数学课堂讲解“上层”数学知识应當为高中数学学习服务，以此为标准笔者在数学课堂经常会讲如下的“上层”知识.

“内容下移”数学教学的反思

导数在高中阶段的成功教学，为我们的内容下移教学提供启示，然而，在进行内容下移教学的过程中，需要我们教师依照一切选择都以促进学生数学学习和数学能力发展服务为标准，同时在讲解的时候不能完全按照高等数学中的原样表述，而应当适当地改换形式进行教学.

首先，进行内容下移教学应当以促进学生数学学习和数学能力发展服务为标准. 众所周知数学新课程标准提出要培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六大核心素养，然而为了更好地发展学生的这六大素养，选择一定上层知识对数学进行教学是有必要的，因为这些上层知识需要学生更高水平的数学思维，然而选择应当有一定的限度，并不是所有的上层数学知识都可以进入高中数学课堂. 我们的选择应当是与高中数学知识有关联的，并且在学生所能够接受的范围内的知识.倘若选择的知识是与高中数学知识无关的，那就无从谈起下移教学为高中数学学习服务了;倘若选择的知识不在学生的最近发展区内，则学生是无法理解的，发展学生的数学能力自然也不可能实现.

其次，对选择的内容要做适当的转变，从而帮助学生去理解，为后继的数学学习奠定基础. 例如，上述三个案例中我们直接叙述极限、内积与范数及仿射变换的定义，显然以高中阶段学生的知识背景是无法理解的. 如果不改变其形式，也就失去了我们进行内容下移教学的初衷——为学生数学学习服务，为学生数学能力发展服务. 正如我们导数的教学一样，我们并不是将导数教学的基础建立在极限的基础上，而是用变化率作为桥梁，以趋向于的字眼让学生去体会导数的本质，在这样的过程中学生能够直接体会逼近思想，发展数学思维.有了这样的数学思想作为基础，在后继高等数学的学习中，遇到极限概念时，学生就不会感到突兀，感到难以接受了.