浅析如何用几何意义解绝对值不等式

何隆迪

【摘要】普通高中数学课程标准指出：“数学是研究空间形式和数量关系的科学.”数形结合思想将代数与几何联系起来，是中学数学中非常重要的思想.本文将介绍含绝对值不等式的几何意义及运用几何意义解含绝对值的不等式.

【关键词】绝对值;不等式;几何意义;数形结合

绝对值不等式是选修4-5中的内容，解含绝对值的不等式的核心思想是去绝对值符号，通过同解变形，将绝对值不等式转化为一般不等式，再运用不等式的基本性质来求解.常见的解题方法有：定义法、零点分段法、平方法、图像法、公式法等.课程标准对本专题给出了如下目标：会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

① |ax+b|≤c，② |ax+b|≥c，③ |x-c|+|x-b|≥a.

利用绝对值的几何意义解上述类型的不等式，很好地避免了代数方法的多种分类讨论，简洁又高效.为把握高考题型，明确考点，笔者将结合近年高考真题，具体谈谈什么是绝对值的几何意义及如何用几何意义来解绝对值不等式.

一、绝对值的几何意义

我们知道：“正数的绝对值等于它本身，0的绝对值还是0，负数的绝对值等于它的相反数”，用符号表示为：

|a|=a，当a>0时，

0，当a=0时，

-a，当a<0时.

这里在去掉|a|中的绝对值符号时分了三种情况，若记a为数轴上点A表示的数，则|a|就表示点A与原点O之间的距离，当点A在原点右边时，距离为正，为a;当点A与原点重合时，距离为0;当点A在原点左边时，距离为正，为-a.如上图所示，一条数轴解决三种分类.

显然，一个实数的绝对值的几何意义为：在数轴上表示这个数的点与原点之间的距离.

对于多项式的绝对值，也可以在数轴上用距离表示：|x-a|即为数轴上表示x的点与表示a的点之间的距离，如图所示，结果为右边点表示的数减去左边点表示的数.对于形如|x-a|的式子，可通过等价变形|x+a|=|x-（-a）|表示为x与-a之间的距离.

二、几种不同类型的绝对值不等式的解法

（一）|ax+b|≤c型

例1（2016·上海）设x∈R，求不等式|x-3|<1的解集.

本題不等式中只有一个绝对值，|x-3|的几何意义为数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，不等式要求距离小于1，需要先在数轴上找到与表示3的点距离等于1的关键点，这样的点有两个，3左边一个为2，3右边一个为4，如图所示，到3的距离小于1的所有点均落在2与4之间（不包括2，4）.所以不等式的解集为{x|2<x<4}.

（二）|ax+b|≥c型

例2求不等式|3-2x|≥5的解集.

绝对值符号里是多项式，x的系数不为±1，所以先对不等式作等价变形为：3/2-x≥5/2，在数轴上找到与3/2距离恰好为5/2的两个关键点，分别为-1和4，问题就迎刃而解了，我们需要找的是距离大于或等于5/2，所以点在-1的左边或4的右边（包括-1和4），解集为{x|x≤-1或x≥4}.

（三）|x-c|+|x-b|≥a型

例3（2014·广东）求不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集.

两个绝对值相加表示距离之和，要用几何意义解此类含有两个绝对值的不等式，和只含一个绝对值的不等式一样，都应在数轴上找到关键点.

本题中，关键点为-2，1，不等式表示与-2，1这两点距离之和大于等于5，-2，1这两点把数轴分成了3段，在-2和1之间的任意点，到这两点距离之和均为定值3，所以在-2左边以及1的右边继续寻找与-2和1距离之和等于5的两个关键点，容易得出关键点为-3和2.我们要求的是距离之和大于等于5，满足要求的点落在-3左边和2的右边（包括-3和2），不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.

利用几何意义，省去了代数法去绝对值的分段讨论，直观又形象.

（四）|x-c|+|x-b|≤a型

例4（2016·新课标Ⅱ）函数f（x）=x-1/2+x+1/2，求不等式f（x）<2的解集.

本题要解的不等式为x-1/2+x+1/2<2，与例3类似，为两个绝对值相加，需要找出到点1/2与-1/2距离之和小于2的所有点，1/2与-1/2这两点把数轴分成了3段，在1/2与-1/2之间的任意点，到这两点距离之和均为定值1，满足题目要求，接着在-1/2的左边与1/2的右边继续寻找与12和-12的距离之和等于2的两个关键点，容易得出关键点为-1和1.我们要求的是距离之和小于2，满足要求的点落在-1和1之间（不包括-1和1），不等式解集为{x|-1<x<1}.