对一道例题的认知与思考

张秒

[摘  要] 一题多变，有助于发展学生的思维品质，挖掘学生的思维深度和广度. 教材中的例、习题一般都具有一定的研究价值，若能在学生认知规律基础上加以变式，以学生为主体展开教学，定能促进思维变通，发展创造能力，提高学习效率.

[关键词] 思维;推理能力;例题;平行线的性质

开学初，笔者在上苏科版七年级下册第七章“平面图形认识（二）”的“探索平行线的性质”后，上了一节习题课. 课堂上对一道例题进行了5种变式延伸，现将上课实录及个人的一些思考整理如下，以供与同行进行交流.

例题呈现

例题  如图1，已知AB//CD，EG平分∠BEP，FH平分∠DFE. 判断EG与FH的位置关系，并说明理由. （例题来源：苏科版七年级下册151页例1改编）

设计意图  本节课是苏科版七年级下册7.2探索平行线的性质后的一节习题课，通过本题考查学生对平行线的性质与平行线的判定的掌握情况.

探索活动

师：要判断EG与FH是否平行可以通过图1中的什么数量关系进行判断？（学生独立思考了2分钟左右）

生1：我们可以根据同位角相等两直线平行，也就是通过说明∠PEG与∠EFH相等来判断EG∥FH.

生2：由AB∥CD可得∠BEP=∠DFE，根据两直线平行，同位角相等;又因为EG平分∠BEP，FH平分∠DFE，可得∠PEG=1/2∠BEP，∠EFH=1/2∠DFE，根据等量代换可得∠PEG=∠EFH，所以EG∥FH.

说明  在学生分析的过程中教师将图1进行分离，分离出一些关于平行线的性质和判定的基本图形，如图2.

设计意图  《数学课程标准》（2011版）中明确指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的几何直观.”所谓的几何直观就是能利用图形描述和分析问题，它可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要的作用. 通过该活动学生学会了从“数”与“形”两个角度认识数学，同时采用数形结合的策略和从复杂的图形中分离出基本图形的方法，可以把复杂的数学问题变得简明.

师：请同学们将本题的说理过程书写出来.

生3： EG∥FH. 因为AB∥CD（已知），所以∠BEP=∠DFE（两直线平行，同位角相等），因为EG平分∠BEP，FH平分∠DFE（已知），所以∠PEG=1/2∠BEP，∠PFH=1/2∠DFE（角平分线定义），所以∠PEG=∠PFH（等量代换），所以EG∥FH（同位角相等，两直线平行）.

设计意图  通过本环节发展学生合情推理和初步的演绎推理能力. 推理在数学中具有重要的地位. 诚如《数学课程标准》（2011版）中所指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. ”学习数学，就是要学习推理，推理能力是培养学生素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标.

变式  如图3，已知AB//CD，EG平分∠BEF，FH平分∠CFE. 判断EG与FH的位置关系，并说明理由.

说明  通过学生的探讨将变式的问题进行转化，如图4，从而使复杂的数学问题变得简明. 并形成以下的推理过程.

生4：EG∥FH. 因为AB∥CD（已知），所以∠BEF=∠CFE（两直线平行，内错角相等），因为EG平分∠BEF，FH平分∠CFE（已知），所以∠EFH=1/2∠CFE，∠FEG=1/2∠BEF（角平分线定义），所以∠EFH=∠FEG（等量代换），所以EG∥FH（内错角相等，两直线平行）.

设计意图  通过变式教学进一步发展学生对图形的认识和空间观念，经历借助基本图形思考问题的过程，初步建立几何直观;培养学生敢于表达自己的想法、敢于创新的良好的数学素养，这也体现了《数学课程标准》（2011版）的基本理念.

师：根据以上活动的探讨你对例题还能做出怎样的变式？

经过一段时间的独立思考和小组合作，同学们得出了下面一些变式.

生5：如图5，已知AB//CD，EG平分∠BEF，FG平分∠DFE. 判断EG与FG的位置关系，并说明理由.

师：哪位同学能对该题做出判断并给出简要的说理思路吗？

生6：EG⊥FG. 因为AB∥CD（已知），所以∠BEF+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 因为EG平分∠BEF，FG平分∠DFE（已知），所以∠FEG=1/2∠BEF，∠EFG=1/2∠DFE（角平分线定义）. 所以∠FEG+∠EFG=1/2×180°=90°，所以∠EGF=180°-90°=90°，所以EG⊥FG.

生7：如图6，已知AB//CD，EG平分∠BEP，FH平分∠CFE. 判断EG与FH的位置关系，并说明理由.

师：哪位同学能对该题做出判断并给出简要的说理思路吗？

生8：EG⊥FH. 如图7，延长GE交FH于点M. （理由基本同生6所讲，在此省略）

生9：如图8，已知AB//CD，EG平分∠BEP，FH平分∠CFQ. 判断EG与FH的位置关系，并说明理由.

师：哪位同学能对该题做出判断并给出简要的说理思路吗？

生10：EG∥FH. （理由在此省略）

生11：如图9，已知AB//CD，EG平分∠BEP，FH平分∠DFQ. 判断EG与FH的位置关系，并说明理由.

师：哪位同学能对该题做出判断并给出简要的说理思路吗？

生12：EG⊥FH. （理由在此省略）

设计意图  这样的设计秉承了教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础的理念，同时充分体现了《数学课程标准》（2011版）学生应当有足够的时间和空间经历观察、猜想、推理、归纳等数学活动过程. 通过以上问题的探究，既复习了平行线的性质也复习了两直线位置关系的判定，达到本节课的教学目标.

教后反思

1. 本节课的设计注重学生基本数学活动经验的积累. 通过对例题的深入分析和变式，揭示数学活动中所蕴含的数学思想. 通过将这些数学活动设计为过程性的教学目标，帮助学生在数学学习过程中获得基本数学活动经验. 通过该活动培养学生类比、猜想以及演绎推理的能力，发展学生的合情推理能力，充分落实《数学课程标准》（2011版）的要求. 在教学中应该注意挖掘相关联数学对象的内在联系，加深学生对有关知识纵向和横向联系的理解. 因此，教师在平时教学中要充分挖掘典型问题的价值，以此培养学生良好的思维品质.

2. “图形与几何”是数学的一个重要组成部分. 对于七年级学生而言，“图形与几何”教学设计一方面要激发学生的兴趣，培养学生学习这部分内容的自信心;另一方面，要遵守《数学课程标准》（2011版）中的两个核心关键词——“几何直观”“推理能力”. 《数学课程标准》（2011版）指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. ”学习数学就是要学习推理，具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标. 七年级学生正处在由感性认识向理性认识发展的过渡期，推理能力還没有形成，而推理能力的提高是一个渐进的过程，不能急于求成. 因此，本节课笔者在学生已有认知和经验的基础上采取小步子、多层次，耐心地对学生进行讲解和引导，引导学生多感悟、多反思，不断激发学生参与课堂的探究活动，遵循了《数学课程标准》（2011版）的理念.

3. 教学设计应以教材为抓手. 教材中安排了大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念，教学中应当予以充分的重视. 要做好由实验几何到论证几何的过渡，让学生经历“猜想—证明”的问题探索过程;要做好从感性到理性、从静态到动态的过渡，提高学生对图形的认知能力. 正如弗赖登塔尔曾经指出：“几何是对空间的把握，这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间，在这个空间里，儿童学会去了解、探索，从而能够更好地在其中生活、呼吸和活动. ”