小问题

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2017-2 一根长为l,质量为m的均质细杆直立在水平地面上，初始时刻受到微小扰动开始倾倒，设杆与水平地面成θ角(见图1所示)，问：(1)当地面光滑时，求θ满足的方程，并判断倾倒过程中是否会脱离地面；(2)当地面与杆之间摩擦系数为µ时，求杆倾倒过程中与地面发生滑动时的角度θ.(宁波大学机械工程与力学学院，胡开鑫、严晨祎供稿)

图1

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*《小问题》2017-1解答 *

问题：自由刚体的一般运动在哪些条件下可以当作刚体平面运动？提示：综合考虑运动学条件、受力条件、质量与惯量的条件等.

(2017年 1月清华大学钱学森力学班“动力学与控制”课期末考试的简答题，李俊峰、马曙光供稿)

解答：在惯性参考系中建立直角坐标系OXY Z，再建立刚体固连坐标系Cxyz，其中C为刚体的质心.初始时刻这两个坐标系完全重合，即OX与Cx重合、OY与 Cy重合、OZ与 Cz重合、点 O与点C重合.刚体作平面运动过程中，保持OXY平面与Cxy平面始终重合.

在下述条件同时满足的情况下，自由刚体的一般运动可以当作刚体平面运动：

(1)运动学条件：刚体质心速度矢量始终位于OXY平面(Cxy平面)内，即 vCZ=vCz=0；刚体角速度矢量始终垂直于OXY平面(Cxy平面)，即ω=ωZeZ=ωzez，eZ和ez分别是OZ轴和Cz轴的单位矢量.

(2)受力条件：作用在刚体上的外力主矢量始终位于OXY平面(Cxy平面)内，即0；作用在刚体上的外力对质心的主矩始终垂直于OXY 平面 (Cxy平面)，即MCzez，eZ和ez分别是OZ轴和Cz轴的单位矢量.

(3)惯量条件：Cz轴是刚体的中心惯性主轴，即Jxz=Jyz=0.