从一个无理数的证明谈起

扈保洪

1问题呈现

命题1若n为正整数，则n+n+1+n+2为无理数.

文[1]在证明命题1时，运用了反证法，不妨摘录其中的一段，如下：

“假设n+n+1+n+2为有理数，则存在互质的正整数a和b，使n+n+1+n+2=ab，得n+1=ab-（n+n+2）.于是又得

n+1=（ab）2-2ab（n+2+n）+（n+n+2）2

=（ab）2-2ab（n+n+2）+n+n+2+

2n（n+2）……（1）”.

由于其后的证明过程迂回曲折，十分繁琐，恕不抄录.

笔者对文[1]的证法进行了探究，发现该证明过程之所以冗长繁琐，是因为其中的某些细节处理不当而产生了解题“绕弯”现象.那么，引发这种现象的具体原因是什么呢？

2分析诊断

先给出命题1的一个新证法：设n+n+1+n+2是有理数，且令n+n+1+n+2=k（k为正有理数），则n+1+n+2=k-n；①

①两边平方，得2n+3+2（n+1）（n+2）=k2-2kn+n ；②

由②移项，得2（n+1）（n+2）+2kn=k2-n-3 ；③

③两边平方，得4（n+1）（n+2）+

8kn（n+1）（n+2）+4k2n=（k2-n-3）2 .④

因为k为正有理数，n为正整数，所以④表明n（n+1）（n+2）为有理数.

考虑到两个连续整数的差为1，它们的最大公约数应为其差1的约数，故n、n+2与n+1均互质；而由n21），则n（n+1）（n+2）=a2b2，该式左边与a2和b2互质矛盾.因此，n+n+1+n+2不能是有理数，而应为无理数.

从上述的新证法来看，在证明命题1的过程中，关键是要减少根号的个数，从而促使问题的迅速转化.与命题1的上述新证法相比，尽管文[1]的证明思路也是如此，但它有两点不当之处：一是假设“n+n+1+n+2=ab”；二是把“n+n+1+n+2=ab”化为“n+1=ab-（n+n+2）”，然后通过平方去掉左边的根号.前者虽然是用反证法证明一个数为无理数时常用的假设形式，但根据命题1所含根号较多的特点，证明的关键在于要减少根号的个数，而不是要考察整数a与b之间的关系，反倒是“ab”使问题的形式更加复杂化了；对于后者，其移项方法虽然属于习惯做法，平方后也能去掉n+1=ab-（n+n+2）中左边的根号，但却使新等式中所含根号的总个数未能减少，因而导致以后的转化过程更加艰难.分析造成这种状况的原因，不难看出它是由思维定式的负效应造成的.一般来说，通性通法都有比较稳固的思路和操作步骤，解题者在运用通性通法解題时，往往会按照习惯了的思路或方式来进行，但正是由于受这些习惯做法的负面影响，常常会使解题者的解题思路因循守旧、被动模仿、生搬硬套，不能抓住细节随机应变，因而出现解题“绕弯”现象也就在所难免了.

3拓展延伸

对于与命题1类似的问题，为了切实消除证明该类问题时可能引发的解题“绕弯”现象，从而摸清其证法的规律性，提高解题的效率，笔者选择了以下两个命题进行拓展延伸.

命题2若n为正整数，则3n+3n+1为无理数.

思路分析利用反证法证明.先利用立方和公式把上述问题转化为证明3n（n+1）是无理数的问题，再证明3n（n+1）是无理数即可.

证明设3n+3n+1=k（k为有理数），并两边立方，得2n+1+3k·3n（n+1）=k3 ，因易知k≠0，故该式表明3n（n+1）为有理数.

因为两个连续的正立方数之差大于1，所以n与n+1至少有一个不是立方数，又因为n与n+1互质，所以n（n+1）不是立方数，于是3n（n+1）不是整数；不妨令3n（n+1）=ba（a与b互质，且a>1），得b3a3=n（n+1） ，该式显然与a3、b3互质矛盾.

因此，3n（n+1）应是无理数，从而3n+3n+1也为无理数.

命题3若n为正整数，则n+n+1+n+2+n+3为无理数.

思路分析利用反证法证明.首先设n+n+1+n+2+n+3=2k（k为正有理数），但由于n+n+1+n+2+n+3=2k中所含根号较多，若通过对其两端直接移项、再平方等措施来逐渐减少根号的个数，经过尝试发现，这是一种“绕弯”的思路，并不可取；其次考虑引入辅助元a（令n+3=a），把n+n+1+n+2+n+3=2k化为a2-3+a2-2+a2-1=2k-a，这样先从形式上将根号减少到3个，再利用移项、平方等，则可进一步减少根号的个数，直至推出矛盾.

证明（1）当n+3为有理数时，根据上述命题1，知n+n+1+n+2+n+3为无理数.

（2）当n+3为无理数时，设n+n+1+n+2+n+3=2k（k为正有理数），且令n+3=a（a为正无理数），则有n=a2-3及n+n+1+n+2=2k-a.

两式结合消去n ，得

a2-3+a2-2+a2-1=2k-a .①

把①式化为

img src="http://img1.qikan.com.cn/qkimages/zxsx/zxsx201706/zxsx20170622-1-l.jpg" alt="" />

a2-2+a2-1=（2k-a）-a2-3；②

把②式两边平方后，并整理，得

（a2-2）（a2-1）

=（2k2-2ka）-（2k-a）a2-3.③

把③式两边平方后，再整理，得[（4k3+2ka2）-6k2a]a2-3=（2k4+4k2a2-6k2-1）-（4k3+2ka2-6k）a ；④