一个著名代数恒等式的应用

数学上，把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数.对于勾股数问题，从古至今人们从未停止过探究活动.已知勾边或股边利用整数的性质，容易求出对应的勾股数，但若已知弦边，如何探求勾股数呢？这是一个具挑战性的问题，这里利用一个著名代数恒等式给出一种初等的解决办法，与大家分享.

1一个著名代数恒等式

1.1恒等式：（a2+b2）（c2+d2）

=（ac-bd）2+（ad+bc）2（1）

=（ac+bd）2+（ad-bc）2.（2）

证明：（1）右边=（ac-bd）2+（ad+bc）2

=a2c2-2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+b2c2

=a2（c2+d2）+b2（d2+c2）

=（a2+b2）（c2+d2）=左边.

对于等式（2）同理可证.上述等式数学上称为婆萝藦笈多─斐波那契恒等式.

推论：（a2+b2）2=（a2-b2）2+（2ab）2.

证明：利用恒等式（1），得（a2+b2）2=（a2+b2）（a2+b2）=（a2-b2）2+（2ab）2.

运用两数和、两数差的完全平方公式转换，同样可证.

代数意义：这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和.

1.2恒等式的运算特性

1.21对于恒等式（1）分别运用乘法交换律、乘法结合律，得

①（a2+b2）（c2+d2）（e2+f2）

=[（ac-bd）2+（ad+bc）2]（e2+f2）

=（ace-bde-adf-bcf）2+（acf-bdf+ade+bce）2.（Ⅰ）

（a2+b2）[（c2+d2）（e2+f2）]

=（a2+b2）[（ce-df）2+（cf+de）2]

=（ace-adf-bcf-bde）2+（acf+ade+bce-bdf）2.（Ⅱ）

比较（Ⅰ）（Ⅱ）两式运算结果，不仅值相等，而且表达式中同类项分别相等.

②由于（c2+d2）（a2+b2）=（ac-bd）2+（bc+ad）2，与（2）式比较，不仅值相等，而且表达式中同类项分别相等.

1.22对于恒等式（2）运用乘法交换律、乘法结合律，得

①（a2+b2）（c2+d2）（e2+f2）

=[（ac+bd）2+（ad-bc）2]（e2+f2）

=（ace+bde+adf-bcf）2+（acf+bdf-ade+bce）2.（Ⅲ）

（a2+b2）[（c2+d2）（e2+f2）]

=（a2+b2）[（ce+df）2+（cf-de）2]

=（ace+adf+bcf-bde）2+（acf-ade-bce-bdf）2.（Ⅳ）

比较（Ⅲ）（Ⅳ）两式运算值，值相等，但其表达式中同类项有的相等、其余的互为相反数；

②由于（c2+d2）（a2+b2）=（ac+bd）2+（bc-ad）2，与（2）式比较，结果相等，但其同类项有的相等、其余的互为相反数.

2两个重要结论

结论1已知弦边k，方程x2+y2=k2（*）有正整数解的充要条件是k中含有4n+1型质因数.

证明充分性：设k=R（4n+1），其余非4n+1型质因子的积为R.由文[1]中结论知：由于形为4n+1型的素数可唯一表示为两个整数的平方和.

设4n+1=x21+y21，由推论，（4n+1）2=（x21-y21）2+（2x21y21）2，则k2=R2（4n+1）2=[R（x21-y21）]2+（2Rx21y21）2，得正整数解（x，y）=（R|x21-y21|，2Rx21y21）.

必要性：设x2、y2是x2+y2=k2的一个正整数解.

若（x2，y2）=1，则x2、y2一奇一偶，k必为奇数.由文[2]知：一切勾股数的基本组（即互质）可用下述公式表示：2mn，m2-n2，m2+n2.其中m、n为正整数且m>n，（m，n）=1，一奇一偶.所以一定存在这样的正整数m、n，使x2=2mn，y2=m2-n2，k=m2+n2.下面用反证法证明：假设k中不含有4n+1型的素因数，根据数学家欧拉1747年证明的：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1.那么k不能表示为m2+n2型的两数平方和，这与k=m2+n2矛盾，所以k中必含有4n+1型的素因数.

若（x2，y2）=d≠1，设x2=dx3，y2=dx3，则（x3，y3）=1，得到x23+y23=（kd）2，转化为上述情形证之.

结论2方程（*）满足0

根据结论1，将k分解质因数，记4n+1型质因数的积为P，非4n+1型质因数的积记为Q，则k=PQ，由文[3]知结论成立.

由于k2=P12f1P22f2…Pr2frQ2，得P2=P12f1P22f2…Pr2fr，其中Pi为4n+1型质因素，则P2正约数个数为（2f1+1）（2f2+1）…（2fr+1），必為奇数，不同正约数对数，记为S（p），

则S（P）=（2f1+1）（2f2+1）…（2fr+1）-12对，即方程（*）的解的组数为S（k）.

依据结论2可知，S（P）即为相同斜边为k的直角三角形的个数.

3恒等式的应用

根据费马平方和定理，任何被4整除余1的素数都能表示为两个平方数的和[4].则根据婆萝藦笈多─斐波那契恒等式，任何两个被4整除余1的素数的积也能表示为两个平方数的和.

步骤：（1）分解质因素k2=P12f1P22f2…Pr2frQ2.

（2）设Pi=x2i+y2i，利用递推式Pni=PiPn-1i（n≥2）将每个P2fi表示成两个平方数的和.

（3）设A、B是P2的一对正约数，即P2=AB，分别将A、B表示成两个平方数的和.特别地，对于A=1时，则B的对应表示式即为P2一个平方和表达式.

（4）对于AB运算，运用恒等式（2），将P2表示成两个平方数的和.

（5）将（4）中所得勾股数Q倍，可得方程（*）的所有解.

根据恒等式的运算特性，为确保过程和结果表示的一致性，步骤（2）、（3）运用恒等式（1）及推论进行计算.为确保结果表示的多样性，步骤（4）运用恒等式（2）进行计算.

4应用举例

在探索过程中，严格按照公式形式进行计算，过程保留性质符号，在结果中取绝对值.

例1已知弦边k=125，求勾股数.

解分解质因数1252=56，5是4n+1型质因数，则有（6+1）-12=3组解.

由于12+22=5，①

①运用推论，得（-3）2+42=52.②

由①×②运用恒等式（1），得

（-11）2+（-2）2=53.③

由①×③运用恒等式（1），得

（-7）2+（-24）2=54.④

由①×④运用恒等式（1），得

412+（-38）2=55.⑤

由①×⑤运用恒等式（1），得

1172+442=56.⑥

设AB=P2（P2=56），则B=P2÷A，则

A=1，B=56，由⑥，得解（117，44）；

A=5，B=55，由①⑤运用恒等式（2），得解（35，120）；

A=52，B=54，由②④运用恒等式（2），得解（75，100）；

故所求3组勾股数解分别是（35，120），（44，117），（75，100）.

例2已知弦边k=325，求勾股数.

解因3252=54×132，5、13都是4n+1型质因数，则有（4+1）（2+1）-12=7组解.

由于12+22=5，①

①运用推论，得（-3）2+42=52.②

由①×②，运用恒等式（1），得

（-11）2+（-2）2=53.③

由①×③，运用恒等式（1），得

（-7）2+（-24）2=54.④

又22+32=13，⑤

⑤运用推论，得（-5）2+122=132.⑥

设AB=P2（P2=54×132），则B=P2÷A，则

序号ABAB解1154×132④×⑥323，362553×132①（③×⑥）165，280352×132②（②×⑥）125，3004535×132③（①×⑥）315，80554132④⑥253，20461354×13⑤（④×⑤）91，35175×1353×13（①×⑤）（③×⑤）195，260与文[3]的结果一致.

例3已知弦边k=360，求勾股数.

解因3602=26×34×52，其中P2=52，Q=72.只有（2+1）-12=1组解.

由12+22=5①，运用推论，得（-3）2+42=52②，利用倍数法，将②式中勾股数72倍，得一组解（216，288）.

例4已知弦边k=21125，求勾股数.

解分解质因数211252=56×134，则共有（6+1）（4+1）-12=17组解.

将5和13分别分拆成两个正整数的平方和.

22+12=5.①

①运用推论，得32+42=52.②

由①×②运用恒等式（1），得22+112=53.③

由①×③运用恒等式（1），得

（-7）2+242=54.④

由①×④运用恒等式（1），得

（-38）2+412=55.⑤

由①×⑤运用恒等式（1），得

（-117）2+442=56.⑥

又32+22=13.⑦

⑦運用推论，得52+122=132.⑧

由⑦×⑧运用恒等式（1），得

（-9）2+462=133.⑨

由⑦×⑨运用恒等式（1），得

（-119）2+1202=134.⑩

设AB=P2（P2=56×134），则B=P2÷A.分别解答如下：

AB由AB得解156×134⑥×⑩（8643，19276）555×134①（⑤×⑩）（10235，18480）5254×134②（④×⑩）（20925，2900）5353×134③（③×⑩）（14875，15000）5452×134④（②×⑩）（3075，20900）555×134⑤（①×⑩）（18565，10080）56134⑥⑩（19203，8804）1356×133⑦（⑥×⑨）（14469，15392）13256×132⑧（⑥×⑧）（19773，7436）13356×13⑨（⑥×⑦）（741，21112）5×1355×133（①×⑦）（⑤×⑨）（20995，2340）52×1354×133（②×⑦）（④×⑨）（10725，18200）53×1353×133（③×⑦）（③×⑨）（8125，19500）54×1352×133（④×⑦）（②×⑨）（20475，5200）55×135×133（⑤×⑦）（①×⑨）（16445，13260）5×13255×132（①×⑧）（⑤×⑧）（5915，20280）52×13254×132（②×⑧）（④×⑧）（12675，16900）例5已知弦边k=2024，求勾股数.

解分解质因素2024=23×11×23，由于质因数2、11、23均不是4n+1型素数，所以以2024为弦的勾股数不存在.

定义当（x，y，k）=1时，满足方程（*）的勾股弦数称为互质勾股数.

猜想当（x，y，k）=1时，方程（*）互质解组数为R（k）=r（r为k中4n+1型不同素因数的个数）.

请大家自行探讨.

参考文献

[1]朱一心.一个整数表示成两个整数平方和的唯一性[J].首都师范大学学报（自然科学版），2015（12）：1-5.

[2]陈景润.初等数论[M].北京：科学出版社，1978：65.

[3]常新德.弦一定勾股数组问题[J].中学数学教学，2000（1）：33-34.

[4]MBA智库百科.费马平方和定理[EB/OL].http：//wiki.mbalib.comwikiFermat%27s_Square_and_Theorem.

[5]陈珠.勾股数的基本组及其性质[J].中等数学，1984（1）：36-40.

作者简介李发勇（1964—），男，中学高级教师.发表文章60余篇，其中有多篇被引用和转载，另有多篇获得省市一、二等奖.endprint