约数问题（一）

全锡贵

有关约数的知识有很多，本期向小读者介绍有关约数个数的求法及应用的问题，希望能给你解题带来方便。

[例1]72有几个约数?

要求72的约数的个数，可以从1开始把72的全部约数逐对写出来：1，72；2，36；……8，9，这样可以求出72的约数共有12个。但这样做比较麻烦。下面我向同学们介绍一种求一个自然数约数的个数的简便方法：

先把给出的自然数分解质因数，然后把各质因数的个数分别加1的和连乘，所得的积就是这个自然数约数的个数。

按照这种方法，由于72=2³×3³，因此72的约数的个数是：(3+1)×(2+1)=12(个)。

[例2]4500的约数中偶数有多少个?

如果把4500的全部约数都写出来，然后再数出其中偶数的个数，显然很麻烦。我们还是先把4500分解质因数，可知4500只有2，3，5这样3个不同的质因数，而其中含有质因数3的和5的约数一定都是奇数，而只含有2这个质因数的约数有2和2²=4，结合乘法原理就可以求出约数中的偶数的个数了。

4500=2²×3²×5³，(2+1)×(3+1)×2=24(个)；或者4500=2²×3²×5³，(2+1)×(2+1)×(3+1)－(2+1)×(3+1)=3×3×4－3×4=36－12=24(个)。

所以，4500的约数中偶数有24个。

[例3]求出100以内的自然数中只有8个约数的所有数。

如果用逐个数求出约数的个数的方法太麻烦。我们可以做逆向思考，8这个约数的个数的得出方式有：8=7+1＝(3+1)×(1+1)=(1+1)×(1+1)×(1+1)，共三种方式。由此说明：这样的数可能只有1个质因数或含有2个不同的质因数或含有3个不同的质因数三种情况。即a、b、c为质数时，这样的数有a⁷、a³×b、a×b×c三种类型。又a最小时为2，2⁷=128＞100，不存在，故只有a³×b和a×b×c两种类型，逐一顺次调换质因数可得出各数。

20×3=24.2³×5=40，2³×7=56，2³×11=88，3³×2=54；2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×5×7=70。所以，共计10个数有8个约数，即24，40，56，88，54，30，42，66，78，70。

(待续)

练一练

1、360、8400各有多少个约数?

2、1680有多少个偶数的约数?

3、7500的约数中，奇数的个数与偶数的个数相差多少个?

4、100以内的自然数中，约数个数最多的数有哪些?